Kalkulator bilangan kompleks
Kalkulator bilangan kompleks ini menghitung bilangan berbentuk a + bi dan menampilkan hasil, bentuk polar, bentuk Euler, dan modulus. Contoh: (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i; modulus 3 + 4i adalah 5.
Contoh: Apa yang ingin dihitung: Operasi dua bilangan (+ − · ÷) · z₁: bagian real a 3 · z₁: bagian imajiner b 4 · Operasi: Perkalian z₁ · z₂ · z₂: bagian real c 1 · z₂: bagian imajiner d -2 → Hasil (bentuk kartesius): z = 11 − 2i. Sumber: Wolfram MathWorld – Complex number. Diperbarui: .
Cara menghitung
Bilangan kompleks berbentuk z = a + bi dengan bagian real a, bagian imajiner b, dan satuan imajiner i yang memenuhi i² = −1. Kalkulator ini menjalankan operasi dasar, pangkat dan akar, serta menampilkan setiap bilangan dalam bentuk polar dan Euler.
Aturan perhitungan
- Penjumlahan dan pengurangan: bagian real dan imajiner secara terpisah: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Perkalian: jabarkan dengan i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- Pembagian: kalikan dengan konjugat: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).
- Modulus: |z| = √(a² + b²), panjang vektor pada bidang kompleks.
Bentuk polar dan bentuk Euler
Dengan r = |z| dan argumen φ (−180° sampai 180°), z = r · (cos φ + i · sin φ) = r · eiφ. Pada bentuk ini perkalian berarti mengalikan modulus dan menjumlahkan sudut; pangkat dan akar mengikuti rumus de Moivre: zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sin nφ).
Contoh
(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Pemeriksaan dengan modulus: 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. Akar pangkat tiga dari 1 adalah 1 dan −0,5 ± 0,866i: tiga titik yang tersebar merata pada lingkaran satuan.
Untuk apa bilangan kompleks dipakai?
Dalam teknik elektro untuk arus bolak-balik (impedansi, fase), pengolahan sinyal (transformasi Fourier), teknik kendali dan fisika kuantum – serta dalam matematika agar setiap persamaan polinomial punya solusi.
Pertanyaan umum
Bagaimana mengalikan bilangan kompleks?
Jabarkan tanda kurung dan ganti i² dengan −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Pada bentuk polar, kalikan modulus dan jumlahkan sudutnya.
Bagaimana membagi bilangan kompleks?
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut. Penyebut menjadi real: c² + d². Pembagian dengan 0 + 0i tidak mungkin.
Bagaimana menghitung modulus dan sudut?
Modulus r = √(a² + b²). Sudut φ diperoleh dari atan2(b, a); kalkulator memberi nilai pokok antara −180° dan 180° (juga dalam radian).
Bagaimana menarik akar bilangan kompleks?
Gunakan bentuk polar: akar ke-n memiliki modulus ⁿ√r dan sudut (φ + 360° · k) / n untuk k = 0 sampai n − 1. Selalu ada tepat n solusi, dan kalkulator mendaftarkan semuanya.
Apa itu konjugat bilangan kompleks?
Untuk z = a + bi, konjugatnya z̄ = a − bi. Hasil kali z · z̄ = a² + b² bernilai real dan sama dengan kuadrat modulus.
Sumber dan dasar hukum
- Wolfram MathWorld – Complex number
- DLMF §1.9: NIST Digital Library of Mathematical Functions – complex numbers, de Moivre
- Wikipedia – De Moivre’s formula
Diperbarui: · Kebijakan editorial
Alat terkait
- Koordinat kutub: dari (x, y) ke (r, θ) dan sebaliknyaKoordinat kutub: ubah koordinat kartesius (x, y) ke koordinat kutub (r, θ) dan sebaliknya, dalam derajat atau radian, dengan kuadran yang benar.
- Kalkulator akarKalkulator akar kuadrat, akar pangkat 3, dan akar pangkat n: hasil, bentuk sederhana (√72 = 6√2), faktorisasi prima, dan metode Heron langkah demi langkah.
- Kalkulator pangkat dengan langkah-langkahKalkulator pangkat online: hitung pangkat, akar pangkat n, dan logaritma dengan basis apa pun – juga pangkat negatif dan pecahan, lengkap dengan langkah cara.
- Kalkulator persamaan kuadratKalkulator persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan rumus ABC: akar-akar, diskriminan, bentuk eksak, titik puncak, faktorisasi, dan akar imajiner.
- Kalkulator vektor dengan langkah perhitunganKalkulator vektor 2D dan 3D: jumlah, hasil kali titik, hasil kali silang, panjang, sudut, dan proyeksi dua vektor – langsung, lengkap dengan langkah hitung.
- Kalkulator sin cos tanKalkulator sin cos tan: masukkan sudut dalam derajat atau radian untuk melihat semua fungsi trigonometri – atau cari sudut dari nilai (arcsin, arccos).
- Kalkulator onlineKalkulator online gratis: ketik atau tekan, hasil langsung muncul – dengan urutan operasi, kurung, persen, akar, langkah perhitungan, dan riwayat.
- Kalkulator Setengah BolaSetengah bola: dari jari-jari, diameter, volume, atau luas permukaan, hitung volume, luas selimut lengkung, alas lingkaran, dan luas total beserta rumusnya.
- Kalkulator Distribusi EksponensialDistribusi eksponensial dengan laju λ: P(X ≤ x), P(X ≥ x) dan interval, plus kerapatan, rata-rata, varians, median, lengkap dengan langkah perhitungannya.