Calcolatrice numeri complessi
Questa calcolatrice numeri complessi lavora con numeri della forma a + bi e mostra il risultato, la forma polare, la forma esponenziale e il modulo. Esempio: (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i; il modulo di 3 + 4i è 5.
Esempio: Che cosa vuoi calcolare: Operazione tra due numeri (+ − · ÷) · z₁: parte reale a 3 · z₁: parte immaginaria b 4 · Operazione: Moltiplicazione z₁ · z₂ · z₂: parte reale c 1 · z₂: parte immaginaria d -2 → Risultato (forma algebrica): z = 11 − 2i. Fonte: Wolfram MathWorld – Complex number. Aggiornato al: .
Come si calcola
Un numero complesso ha la forma z = a + bi, con parte reale a, parte immaginaria b e unità immaginaria i, per cui i² = −1. La calcolatrice esegue le operazioni di base, le potenze e le radici e mostra ogni numero anche in forma polare ed esponenziale.
Le regole di calcolo
- Somma e sottrazione: parte reale e immaginaria separatamente: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Moltiplicazione: sviluppare con i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- Divisione: moltiplicare per il coniugato: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).
- Modulo: |z| = √(a² + b²), la lunghezza del vettore nel piano complesso.
Forma polare ed esponenziale
Con r = |z| e l’argomento φ (da −180° a 180°), z = r · (cos φ + i · sen φ) = r · eiφ. In questa forma moltiplicare significa moltiplicare i moduli e sommare gli argomenti; potenze e radici derivano dalla formula di De Moivre: zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sen nφ).
Esempio
(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Verifica con i moduli: 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. Le radici cubiche di 1 sono 1 e −0,5 ± 0,866i: tre punti equidistanti sulla circonferenza unitaria.
A che cosa servono i numeri complessi?
In elettrotecnica per la corrente alternata (impedenza, fase), nell’elaborazione dei segnali (trasformata di Fourier), nei controlli automatici e nella fisica quantistica – e in matematica, perché ogni equazione polinomiale abbia soluzioni.
Domande frequenti
Come si moltiplicano i numeri complessi?
Si sviluppano le parentesi e si sostituisce i² con −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. In forma polare si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.
Come si dividono i numeri complessi?
Si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Il denominatore diventa reale: c² + d². Non si può dividere per 0 + 0i.
Come si calcolano modulo e argomento?
Modulo r = √(a² + b²). L’argomento φ si ottiene con atan2(b, a); la calcolatrice dà il valore principale tra −180° e 180° (anche in radianti).
Come si calcola la radice di un numero complesso?
Con la forma polare: la radice n-esima ha modulo ⁿ√r e argomenti (φ + 360° · k) / n per k da 0 a n − 1. Ci sono sempre esattamente n soluzioni, che la calcolatrice elenca tutte.
Che cos’è il coniugato?
Per z = a + bi è z̄ = a − bi. Il prodotto z · z̄ = a² + b² è reale e uguale al quadrato del modulo.
Fonti e riferimenti normativi
- Wolfram MathWorld – Complex number
- DLMF §1.9: NIST Digital Library of Mathematical Functions – complex numbers, de Moivre
- Wikipedia – De Moivre’s formula
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