Komplexe Zahlen Rechner
Der Komplexe Zahlen Rechner rechnet mit Zahlen der Form a + bi und zeigt Ergebnis, Polarform, Eulerform und Betrag. Beispiel: (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i; der Betrag von 3 + 4i ist 5.
Beispiel: Was soll berechnet werden: Rechnen mit zwei Zahlen (+ − · ÷) · z₁: Realteil a 3 · z₁: Imaginärteil b 4 · Rechenart: Multiplikation z₁ · z₂ · z₂: Realteil c 1 · z₂: Imaginärteil d -2 → Ergebnis (kartesisch): z = 11 − 2i. Quelle: Wolfram MathWorld – Komplexe Zahl (englisch). Stand: .
So wird gerechnet
Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi mit Realteil a, Imaginärteil b und der imaginären Einheit i, für die i² = −1 gilt. Der Rechner führt die Grundrechenarten, Potenzen und Wurzeln aus und gibt jede Zahl auch in Polar- und Eulerform an.
Die Rechenregeln
- Addition und Subtraktion: Real- und Imaginärteil getrennt: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Multiplikation: ausmultiplizieren mit i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- Division: mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).
- Betrag: |z| = √(a² + b²), die Länge des Zeigers in der Gaußschen Zahlenebene.
Polarform und Eulerform
Mit r = |z| und dem Winkel φ (Argument, −180° bis 180°) gilt z = r · (cos φ + i · sin φ) = r · eiφ. In dieser Form wird Multiplizieren zum Multiplizieren der Beträge und Addieren der Winkel; Potenzen und Wurzeln folgen aus der Formel von de Moivre: zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sin nφ).
Beispiel
(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Probe über die Beträge: 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. Die dritten Wurzeln aus 1 sind 1 sowie −0,5 ± 0,866i: drei Punkte gleichmäßig auf dem Einheitskreis.
Wozu braucht man komplexe Zahlen?
In der Elektrotechnik für Wechselstrom (Impedanz, Phasen), in der Signalverarbeitung (Fourier-Transformation), in der Regelungstechnik und der Quantenphysik – und in der Mathematik, damit jede Polynomgleichung Lösungen hat.
Häufige Fragen
Wie multipliziert man komplexe Zahlen?
Wie Klammern ausmultiplizieren und i² durch −1 ersetzen: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. In Polarform multipliziert man die Beträge und addiert die Winkel.
Wie dividiert man komplexe Zahlen?
Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitern. Dadurch wird der Nenner reell: c² + d². Durch 0 + 0i ist keine Division möglich.
Wie berechnet man den Betrag und den Winkel?
Betrag r = √(a² + b²). Der Winkel φ ergibt sich mit atan2(b, a); der Rechner liefert den Hauptwert zwischen −180° und 180° (auch im Bogenmaß).
Wie zieht man die Wurzel aus einer komplexen Zahl?
Mit der Polarform: Die n-te Wurzel hat den Betrag ⁿ√r und die Winkel (φ + 360° · k) / n für k = 0 bis n − 1. Es gibt immer genau n Lösungen, die der Rechner alle auflistet.
Was ist die konjugiert komplexe Zahl?
Zu z = a + bi ist z̄ = a − bi. Das Produkt z · z̄ = a² + b² ist reell und gleich dem Quadrat des Betrags.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wolfram MathWorld – Komplexe Zahl (englisch)
- DLMF §1.9: NIST Digital Library of Mathematical Functions – Komplexe Zahlen, de Moivre (englisch)
- Wikipedia – Satz von Moivre (englisch)
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