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複素数の計算

複素数の計算は、a + bi の形の数で四則・累乗・累乗根を求め、結果、極形式、オイラーの形式、絶対値を表示します。例：(3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i、3 + 4i の絶対値は5です。

計算例：求めるもの: 2つの数の計算（＋ − · ÷） · z₁：実部 a 3 · z₁：虚部 b 4 · 演算: 掛け算 z₁ · z₂ · z₂：実部 c 1 · z₂：虚部 d -2 → 結果（直交形式）：z = 11 − 2i。出典：Wolfram MathWorld – Complex number。更新日：

iの係数
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結果

結果（直交形式）
z = 11 − 2i
極形式
11.18034 · (cos −10.304846° + i · sin −10.304846°)
オイラーの形式
11.18034 · e^(i · −0.179853)
絶対値
|z| = 11.18034
共役複素数
z̄ = 11 + 2i
元の数について
z₁ = 3 + 4i の絶対値は5、偏角は53.130102°です。
途中式
  • (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
  • (3 · 1 − 4 · (−2)) + (3 · (−2) + 4 · 1)i

計算方法

複素数は z = a + bi の形で表します。aは実部、bは虚部、iは i² = −1 を満たす虚数単位です。このツールは四則演算・累乗・累乗根を計算し、どの数も極形式とオイラーの形式で示します。

計算規則

極形式とオイラーの形式

r = |z|、偏角φ（−180°〜180°）を使うと z = r · (cos φ + i · sin φ) = r · eiφ と書けます。この形では掛け算は「絶対値を掛けて偏角を足す」ことになり、累乗や累乗根はド・モアブルの公式 zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sin nφ) から求まります。

例

(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i。絶対値で検算：5 · √5 = √125 = 11.18 = |11 − 2i|。1の3乗根は 1 と −0.5 ± 0.866i で、単位円上に等間隔に並ぶ3点です。

複素数は何に使う？

電気工学の交流（インピーダンス・位相）、信号処理（フーリエ変換）、制御工学、量子物理、そして数学では「すべての多項式方程式に解がある」ようにするために使われます。

よくある質問

複素数の掛け算はどうしますか？

括弧を展開して i² を −1 に置き換えます：(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i。極形式なら絶対値を掛けて偏角を足します。

複素数の割り算はどうしますか？

分母の共役複素数を分子・分母に掛けます。分母が実数 c² + d² になります。0 + 0i で割ることはできません。

絶対値と偏角の求め方は？

絶対値は r = √(a² + b²)、偏角φは atan2(b, a) で求めます。このツールは −180°〜180° の主値を度とラジアンで示します。

複素数の累乗根はどう求めますか？

極形式を使います。n乗根は絶対値が ⁿ√r、偏角が (φ + 360° · k) / n（k＝0〜n−1）です。解はちょうどn個あり、すべて一覧表示します。

共役複素数とは？

z = a + bi に対して z̄ = a − bi です。積 z · z̄ = a² + b² は実数で、絶対値の2乗に等しくなります。

出典・根拠

更新日： · 編集方針

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