Calculadora números complexos
Esta calculadora números complexos trabalha com números da forma a + bi e mostra o resultado, a forma polar, a forma exponencial e o módulo. Exemplo: (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i; o módulo de 3 + 4i é 5.
Exemplo: O que você quer calcular: Operação com dois números (+ − · ÷) · z₁: parte real a 3 · z₁: parte imaginária b 4 · Operação: Multiplicação z₁ · z₂ · z₂: parte real c 1 · z₂: parte imaginária d -2 → Resultado (forma algébrica): z = 11 − 2i. Fonte: Wolfram MathWorld – Complex number. Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
Um número complexo tem a forma z = a + bi, com parte real a, parte imaginária b e a unidade imaginária i, para a qual i² = −1. A calculadora faz as operações básicas, potências e raízes e mostra cada número também na forma polar e exponencial.
As regras de cálculo
- Adição e subtração: partes real e imaginária separadamente: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Multiplicação: distribuir com i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- Divisão: multiplicar pelo conjugado: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).
- Módulo: |z| = √(a² + b²), o comprimento do vetor no plano complexo.
Forma polar e exponencial
Com r = |z| e o argumento φ (de −180° a 180°), z = r · (cos φ + i · sen φ) = r · eiφ. Nessa forma, multiplicar é multiplicar os módulos e somar os argumentos; potências e raízes saem da fórmula de De Moivre: zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sen nφ).
Exemplo
(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Conferência pelos módulos: 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. As raízes cúbicas de 1 são 1 e −0,5 ± 0,866i: três pontos igualmente espaçados no círculo unitário.
Para que servem os números complexos?
Na eletrotécnica, para corrente alternada (impedância, fase), no processamento de sinais (transformada de Fourier), no controle e na física quântica – e na matemática, para que toda equação polinomial tenha soluções.
Perguntas frequentes
Como multiplicar números complexos?
Distribui-se como em parênteses e troca-se i² por −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Na forma polar, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos.
Como dividir números complexos?
Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O denominador fica real: c² + d². Não é possível dividir por 0 + 0i.
Como calcular o módulo e o argumento?
Módulo r = √(a² + b²). O argumento φ vem de atan2(b, a); a calculadora dá o valor principal entre −180° e 180° (também em radianos).
Como tirar a raiz de um número complexo?
Pela forma polar: a raiz n-ésima tem módulo ⁿ√r e argumentos (φ + 360° · k) / n para k de 0 a n − 1. Sempre há exatamente n soluções, e a calculadora lista todas.
O que é o conjugado?
Para z = a + bi, é z̄ = a − bi. O produto z · z̄ = a² + b² é real e igual ao quadrado do módulo.
Fontes e base legal
- Wolfram MathWorld – Complex number
- DLMF §1.9: NIST Digital Library of Mathematical Functions – complex numbers, de Moivre
- Wikipedia – De Moivre’s formula
Última atualização: · Princípios editoriais
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