Calculadora números complejos
Esta calculadora números complejos trabaja con números de la forma a + bi y muestra el resultado, la forma polar, la forma exponencial y el módulo. Ejemplo: (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i; el módulo de 3 + 4i es 5.
Ejemplo: ¿Qué quiere calcular: Operación con dos números (+ − · ÷) · z₁: parte real a 3 · z₁: parte imaginaria b 4 · Operación: Multiplicación z₁ · z₂ · z₂: parte real c 1 · z₂: parte imaginaria d -2 → Resultado (forma binómica): z = 11 − 2i. Fuente: Wolfram MathWorld – Complex number. Actualizado: .
Cómo se calcula
Un número complejo tiene la forma z = a + bi, con parte real a, parte imaginaria b y la unidad imaginaria i, que cumple i² = −1. La calculadora realiza las operaciones básicas, potencias y raíces, y da cada número también en forma polar y exponencial.
Las reglas de cálculo
- Suma y resta: parte real e imaginaria por separado: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Multiplicación: desarrollar con i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- División: multiplicar por el conjugado: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).
- Módulo: |z| = √(a² + b²), la longitud del vector en el plano complejo.
Forma polar y exponencial
Con r = |z| y el argumento φ (de −180° a 180°), z = r · (cos φ + i · sen φ) = r · eiφ. En esta forma, multiplicar significa multiplicar los módulos y sumar los argumentos; potencias y raíces salen de la fórmula de De Moivre: zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sen nφ).
Ejemplo
(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Comprobación con los módulos: 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. Las raíces cúbicas de 1 son 1 y −0,5 ± 0,866i: tres puntos equidistantes en la circunferencia unidad.
¿Para qué sirven los números complejos?
En electrotecnia para la corriente alterna (impedancia, fase), en procesamiento de señales (transformada de Fourier), en control y en física cuántica – y en matemáticas, para que toda ecuación polinómica tenga soluciones.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se multiplican números complejos?
Se desarrollan los paréntesis y se sustituye i² por −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. En forma polar se multiplican los módulos y se suman los argumentos.
¿Cómo se dividen números complejos?
Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador. El denominador pasa a ser real: c² + d². No se puede dividir entre 0 + 0i.
¿Cómo se calcula el módulo y el argumento?
Módulo r = √(a² + b²). El argumento φ sale de atan2(b, a); la calculadora da el valor principal entre −180° y 180° (también en radianes).
¿Cómo se calcula la raíz de un número complejo?
Con la forma polar: la raíz n-ésima tiene módulo ⁿ√r y argumentos (φ + 360° · k) / n para k de 0 a n − 1. Siempre hay exactamente n soluciones y la calculadora las muestra todas.
¿Qué es el conjugado de un número complejo?
Para z = a + bi es z̄ = a − bi. El producto z · z̄ = a² + b² es real e igual al cuadrado del módulo.
Fuentes y base legal
- Wolfram MathWorld – Complex number
- DLMF §1.9: NIST Digital Library of Mathematical Functions – complex numbers, de Moivre
- Wikipedia – De Moivre’s formula
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