Complexe getallen rekenmachine
Deze complexe getallen rekenmachine rekent met getallen van de vorm a + bi en toont resultaat, poolvorm, eulervorm en modulus. Voorbeeld: (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i; de modulus van 3 + 4i is 5.
Voorbeeld: Wat wilt u berekenen: Rekenen met twee getallen (+ − · ÷) · z₁: reëel deel a 3 · z₁: imaginair deel b 4 · Bewerking: Vermenigvuldigen z₁ · z₂ · z₂: reëel deel c 1 · z₂: imaginair deel d -2 → Resultaat (cartesisch): z = 11 − 2i. Bron: Wolfram MathWorld – Complex number. Bijgewerkt: .
Zo wordt het berekend
Een complex getal heeft de vorm z = a + bi met reëel deel a, imaginair deel b en de imaginaire eenheid i, waarvoor i² = −1 geldt. De rekenmachine voert de basisbewerkingen, machten en wortels uit en geeft elk getal ook in poolvorm en eulervorm.
De rekenregels
- Optellen en aftrekken: reëel en imaginair deel apart: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Vermenigvuldigen: haakjes uitwerken met i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- Delen: vermenigvuldigen met de complex toegevoegde: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).
- Modulus: |z| = √(a² + b²), de lengte van de pijl in het complexe vlak.
Poolvorm en eulervorm
Met r = |z| en het argument φ (−180° tot 180°) geldt z = r · (cos φ + i · sin φ) = r · eiφ. In deze vorm betekent vermenigvuldigen: de moduli vermenigvuldigen en de hoeken optellen; machten en wortels volgen uit de formule van De Moivre: zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sin nφ).
Voorbeeld
(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Controle met de moduli: 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. De derdemachtswortels van 1 zijn 1 en −0,5 ± 0,866i: drie punten gelijkmatig verdeeld op de eenheidscirkel.
Waarvoor gebruikt men complexe getallen?
In de elektrotechniek voor wisselstroom (impedantie, fase), bij signaalverwerking (Fouriertransformatie), in de regeltechniek en de kwantumfysica – en in de wiskunde, zodat elke veeltermvergelijking oplossingen heeft.
Veelgestelde vragen
Hoe vermenigvuldig je complexe getallen?
Werk de haakjes uit en vervang i² door −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. In poolvorm vermenigvuldig je de moduli en tel je de hoeken op.
Hoe deel je complexe getallen?
Vermenigvuldig teller en noemer met de complex toegevoegde van de noemer. De noemer wordt reëel: c² + d². Delen door 0 + 0i kan niet.
Hoe bereken je modulus en argument?
Modulus r = √(a² + b²). Het argument φ volgt uit atan2(b, a); de rekenmachine geeft de hoofdwaarde tussen −180° en 180° (ook in radialen).
Hoe trek je de wortel uit een complex getal?
Met de poolvorm: de n-de wortel heeft modulus ⁿ√r en hoeken (φ + 360° · k) / n voor k = 0 tot n − 1. Er zijn altijd precies n oplossingen; de rekenmachine toont ze allemaal.
Wat is de complex toegevoegde?
Bij z = a + bi is dat z̄ = a − bi. Het product z · z̄ = a² + b² is reëel en gelijk aan het kwadraat van de modulus.
Bronnen en wettelijke basis
- Wolfram MathWorld – Complex number
- DLMF §1.9: NIST Digital Library of Mathematical Functions – complex numbers, de Moivre
- Wikipedia – De Moivre’s formula
Bijgewerkt op: · Redactioneel beleid
Vergelijkbare tools
- Wortel berekenenWortel berekenen: vierkantswortel, derdemachtswortel en n-de machtswortel met uitkomst, vereenvoudigde wortel (√72 = 6√2), priemfactoren en Heron-methode.
- Machtsverheffen en logaritme rekenen met stappenBereken machten, n-de machtswortels en logaritmen (ln, log, elk grondtal) online, met stap-voor-stap uitleg en negatieve of gebroken exponenten.
- ABC-formule rekenmachineLos ax² + bx + c = 0 op met de abc-formule: oplossingen, discriminant, exacte vorm met wortels, top van de parabool, ontbinding en complexe oplossingen.
- Vectoren rekenmachine met stappenVectoren rekenmachine voor 2D en 3D: som, inproduct, uitproduct, lengte, hoek en projectie van twee vectoren – direct, met de berekening stap voor stap.
- Sinus cosinus tangens berekenenSinus cosinus tangens berekenen: voer een hoek in graden of radialen in en zie alle functies – of zoek de hoek bij een waarde met arcsin, arccos, arctan.
- Rekenmachine onlineGratis online rekenmachine: typ of tik en zie meteen de uitkomst – met volgorde van bewerkingen, haakjes, procent, wortel, tussenstappen en geschiedenis.
- Interactief periodiek systeem der elementenPeriodiek systeem met alle 118 elementen: atoommassa, elektronenconfiguratie, smelt- en kookpunt. Zoeken, temperatuurschuif, kleuren en afdrukken als pdf.
- Halve bol berekenenHalve bol berekenen uit straal, diameter, inhoud of oppervlakte: inhoud, gebogen oppervlak, grondcirkel en totale oppervlakte, met formules en een voorbeeld.
- Exponentiële verdeling berekenenExponentiële verdeling berekenen met parameter λ: P(X ≤ x), P(X ≥ x) en intervallen, plus dichtheid, gemiddelde, variantie en mediaan met alle rekenstappen.