Kalkulator liczb zespolonych
Ten kalkulator liczb zespolonych liczy na liczbach postaci a + bi i pokazuje wynik, postać trygonometryczną, wykładniczą oraz moduł. Przykład: (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i; moduł 3 + 4i wynosi 5.
Przykład: Co chcesz obliczyć: Działanie na dwóch liczbach (+ − · ÷) · z₁: część rzeczywista a 3 · z₁: część urojona b 4 · Działanie: Mnożenie z₁ · z₂ · z₂: część rzeczywista c 1 · z₂: część urojona d -2 → Wynik (postać algebraiczna): z = 11 − 2i. Źródło: Wolfram MathWorld – Complex number. Stan na: .
Jak to obliczamy
Liczba zespolona ma postać z = a + bi, gdzie a to część rzeczywista, b część urojona, a i jednostka urojona, dla której i² = −1. Kalkulator wykonuje działania podstawowe, potęgi i pierwiastki oraz podaje każdą liczbę także w postaci trygonometrycznej i wykładniczej.
Reguły rachunkowe
- Dodawanie i odejmowanie: osobno części rzeczywiste i urojone: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Mnożenie: wymnożyć nawiasy, podstawiając i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- Dzielenie: rozszerzyć przez liczbę sprzężoną: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).
- Moduł: |z| = √(a² + b²), długość wektora na płaszczyźnie zespolonej.
Postać trygonometryczna i wykładnicza
Dla r = |z| i argumentu φ (od −180° do 180°) mamy z = r · (cos φ + i · sin φ) = r · eiφ. W tej postaci mnożenie oznacza mnożenie modułów i dodawanie kątów; potęgi i pierwiastki wynikają ze wzoru de Moivre’a: zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sin nφ).
Przykład
(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Sprawdzenie modułami: 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. Pierwiastki sześcienne z 1 to 1 oraz −0,5 ± 0,866i: trzy punkty równomiernie rozłożone na okręgu jednostkowym.
Do czego służą liczby zespolone?
W elektrotechnice dla prądu przemiennego (impedancja, faza), w przetwarzaniu sygnałów (transformata Fouriera), w automatyce i fizyce kwantowej – oraz w matematyce, aby każde równanie wielomianowe miało rozwiązania.
Najczęściej zadawane pytania
Jak mnożyć liczby zespolone?
Wymnażamy nawiasy i zastępujemy i² przez −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. W postaci trygonometrycznej mnoży się moduły i dodaje argumenty.
Jak dzielić liczby zespolone?
Rozszerzamy ułamek o liczbę sprzężoną do mianownika. Mianownik staje się rzeczywisty: c² + d². Dzielenie przez 0 + 0i jest niemożliwe.
Jak obliczyć moduł i argument?
Moduł r = √(a² + b²). Argument φ wynika z atan2(b, a); kalkulator podaje wartość główną od −180° do 180° (także w radianach).
Jak obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej?
Za pomocą postaci trygonometrycznej: pierwiastek n-tego stopnia ma moduł ⁿ√r i argumenty (φ + 360° · k) / n dla k od 0 do n − 1. Zawsze jest dokładnie n rozwiązań, a kalkulator wypisuje je wszystkie.
Czym jest liczba sprzężona?
Dla z = a + bi to z̄ = a − bi. Iloczyn z · z̄ = a² + b² jest rzeczywisty i równy kwadratowi modułu.
Źródła i podstawa prawna
- Wolfram MathWorld – Complex number
- DLMF §1.9: NIST Digital Library of Mathematical Functions – complex numbers, de Moivre
- Wikipedia – De Moivre’s formula
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Współrzędne biegunowe: z (x, y) na (r, φ) i z powrotemWspółrzędne biegunowe: zamień współrzędne kartezjańskie (x, y) na biegunowe (r, φ) i odwrotnie, w stopniach lub radianach, z właściwą ćwiartką.
- Kalkulator pierwiastkówKalkulator pierwiastków: kwadratowy, sześcienny i n-tego stopnia – wynik, uproszczona postać (√72 = 6√2), rozkład na czynniki pierwsze i metoda Herona.
- Kalkulator potęg krok po krokuKalkulator potęg: oblicz potęgi, pierwiastki n-tego stopnia i logarytmy o dowolnej podstawie – krok po kroku, także z wykładnikiem ujemnym i ułamkowym.
- Równanie kwadratowe – kalkulatorRozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki, dokładna postać, wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i rozwiązania zespolone.
- Kalkulator wektorów z obliczeniami krok po krokuKalkulator wektorów 2D i 3D: suma, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość, kąt i rzut dwóch wektorów – od razu, z obliczeniami krok po kroku.
- Kalkulator sinus cosinus tangensKalkulator sinus cosinus tangens: wpisz kąt w stopniach lub radianach i zobacz wszystkie funkcje – albo znajdź kąt dla wartości (arcsin, arccos, arctan).
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Równanie trzeciego stopniaRozwiąż równanie trzeciego stopnia ax³ + bx² + cx + d = 0: pierwiastki rzeczywiste i zespolone, z wyróżnikiem, czynnikami liniowymi i sprawdzeniem.
- Kalkulator pierwiastka sześciennegoPierwiastek sześcienny z dowolnej liczby, dodatniej lub ujemnej: wartość dziesiętna, postać uproszczona, obliczenia krok po kroku i sprawdzenie wyniku.