Calculateur d’intégrale

Ce calculateur d’intégrale fonctionne sans inscription : saisissez une fonction de x et l’outil construit la primitive avec les règles utilisées et la vérifie par dérivation. Avec deux bornes, il calcule aussi l’intégrale définie, c’est-à-dire l’aire sous la courbe, de façon exacte ou, sans primitive connue, numérique.

Source : Règles d'intégration : règles de la somme, du facteur constant et de la puissance, substitution linéaire, intégration par parties (programme standard d'analyse). Mise à jour : 5 octobre 2026.

Fonction f(x)

par ex. x^2 + 3x, sin(2x), e^(3x), 1/(2x+1), x*e^x, x*ln(x), 1/(x^2+1). Autorisés : + − * / ^, parenthèses, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi

Borne inférieure a (facultatif)

pour l’intégrale définie ; laissez les deux bornes vides si seule la primitive vous intéresse

Borne supérieure b (facultatif)

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Résultat

Primitive F(x): x·e^x - e^x + C
Vérification: Dérivée de la primitive : F′(x) = x·e^x
Intégrale définie: De 0 à 1 : 1 (exact, via la primitive)
Étapes: Intégration par parties (tableau) : dériver le polynôme pas à pas, intégrer l’autre facteur pas à pas: ∫ x·e^x dx = x·e^x - e^x; La primitive est donnée à une constante C près. Elle peut s’écrire autrement que dans votre corrigé sans être fausse : la vérification par dérivation montre si elle convient à la fonction.

Comment le calcul est fait

Une intégrale est l’opération inverse de la dérivation : la primitive F d’une fonction f est la fonction dont la dérivée est f. L’intégrale définie entre deux bornes a et b mesure l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses, les aires sous l’axe comptant négativement.

Les règles appliquées par l’outil

Puissance : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) pour n ≠ −1 ; pour 1/x, on obtient ln|x|.
Somme et facteur constant : les sommes s’intègrent terme à terme, les nombres devant restent.
Fonction intérieure linéaire : pour sin(2x), e^(3x) ou (2x+1)³, on divise par la dérivée intérieure.
Intégration par parties : les produits d’un polynôme et de e^(ax), sin(ax), cos(ax) ou ln(x) se résolvent sous forme de tableau, par exemple ∫x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ.
Changement de variable : si l’intégrande contient h(u) et la dérivée u′, on remplace u, par exemple ∫x·e^(x^2) dx = e^(x^2)/2 ou ∫sin(x)·cos(x) dx = sin(x)^2/2.
Fractions : pour les dénominateurs de degré 2 au plus, l’outil utilise la division de polynômes, les éléments simples ou l’arc tangente : ∫1/(x^2+1) dx = arctan(x) et ∫1/(x^2−1) dx = ln|x − 1|/2 − ln|x + 1|/2.
Autres cas : sin², cos² et tan² par identités, eˣ·sin(x) et eˣ·cos(x) par deux intégrations par parties, polynômes multipliés par des racines de ax + b.

Intégrale définie et vérification

Avec des bornes, l’outil calcule F(b) − F(a). Si les règles ne donnent pas de primitive, l’intégrale est approchée numériquement par la méthode de Simpson adaptative et signalée comme approximation. Les pôles dans l’intervalle, comme 1/x de −1 à 1, sont détectés et signalés. La vérification dérive à nouveau le résultat ; le sens inverse est traité par le calculateur de dérivée. L’allure de la fonction se voit dans le traceur de fonctions.

Graphique, estimation de l’erreur et limites

Le graphique montre f(x) et colore l’aire entre les bornes a et b ; les parties sous l’axe des x comptent négativement. Les touches au-dessus du graphique insèrent x, ^, √, π et les noms de fonctions à l’emplacement du curseur. Les valeurs numériques proviennent de la méthode de Simpson adaptative et sont contre-vérifiées par quadrature de Gauss-Legendre ; l’écart figure dans la remarque. Chaque primitive est vérifiée par dérivation avant d’être affichée. Ne sont pas pris en charge, entre autres, les puissances élevées de sin et cos, les dénominateurs de degré 3 ou plus et les racines de termes quadratiques : le calculateur indique alors qu’il n’a pas trouvé de primitive, au lieu de deviner.

Questions fréquentes

Comment calculer une intégrale ?

Construisez d’abord la primitive en intégrant chaque partie avec la règle adaptée : puissance pour xⁿ, division par la dérivée intérieure pour les composées, intégration par parties pour les produits. Pour une intégrale définie, remplacez ensuite par les bornes : F(b) − F(a).

Que signifie le « + C » ?

Une fonction a une infinité de primitives qui ne diffèrent que d’une constante, car la dérivée d’une constante est nulle. Ce C figure donc dans l’intégrale indéfinie et disparaît dans l’intégrale définie.

Quelle différence entre intégrale définie et indéfinie ?

L’intégrale indéfinie est l’ensemble des primitives, une fonction plus C. L’intégrale définie a des bornes et donne un nombre : l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses.

Pourquoi l’outil ne trouve-t-il parfois aucune primitive ?

Toutes les fonctions ne s’intègrent pas avec les règles usuelles, et certaines, comme e^(x²), n’ont aucune primitive exprimable avec des fonctions élémentaires. Pour une intégrale définie, l’outil calcule alors numériquement.

Comment vérifier le résultat ?

Dérivez la primitive : si vous retrouvez la fonction de départ, l’intégrale est juste. L’outil affiche cette vérification et, pour les intégrales définies, compare en interne la valeur exacte à un calcul numérique.

Sources et références juridiques

Dernière mise à jour : 5 octobre 2026 · Principes éditoriaux