Integral berechnen

Ein Integral berechnen Sie hier ohne Anmeldung: Funktion von x eingeben, und das Tool bildet die Stammfunktion mit den angewandten Regeln und prüft sie durch Ableiten. Mit zwei Grenzen berechnet es zusätzlich das bestimmte Integral, also die Fläche unter dem Graphen – exakt oder, wenn keine Stammfunktion bekannt ist, numerisch.

Quelle: Integrationsregeln: Summen-, Faktor-, Potenzregel, lineare Substitution, partielle Integration (Standardstoff der Analysis). Stand: 5. Oktober 2026.

Funktion f(x)

z. B. x^2 + 3x, sin(2x), e^(3x), 1/(2x+1), x*e^x, x*ln(x), 1/(x^2+1). Erlaubt: + − * / ^, Klammern, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi

Untere Grenze a (optional)

für das bestimmte Integral; beide Grenzen leer lassen, wenn nur die Stammfunktion gesucht ist

Obere Grenze b (optional)

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Ergebnis

Stammfunktion F(x): x·e^x - e^x + C
Probe: Ableitung der Stammfunktion: F′(x) = x·e^x
Bestimmtes Integral: Von 0 bis 1: 1 (exakt über die Stammfunktion)
Rechenweg: Partielle Integration (tabellarisch): Polynom schrittweise ableiten, Gegenfaktor schrittweise integrieren: ∫ x·e^x dx = x·e^x - e^x; Die Stammfunktion gilt bis auf eine Konstante C. Sie kann anders aussehen als in Ihrer Lösung, ohne falsch zu sein: Die Probe durch Ableiten zeigt, ob sie zur Funktion passt.

So wird gerechnet

Ein Integral ist die Umkehrung der Ableitung: Die Stammfunktion F einer Funktion f ist die Funktion, deren Ableitung f ergibt. Das bestimmte Integral zwischen zwei Grenzen a und b misst die Fläche zwischen Graph und x-Achse, wobei Flächen unter der Achse negativ zählen.

Welche Regeln das Tool anwendet

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) für n ≠ −1; für 1/x ergibt sich ln|x|.
Summen- und Faktorregel: Summen werden Glied für Glied integriert, Zahlen davor bleiben stehen.
Lineare Verkettung: Bei sin(2x), e^(3x) oder (2x+1)³ wird durch die innere Ableitung geteilt.
Partielle Integration: Produkte aus einem Polynom und e^(ax), sin(ax), cos(ax) oder ln(x) löst das Tool tabellarisch, zum Beispiel ∫x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ.
Substitution: Steht neben h(u) auch die Ableitung u′ im Integranden, wird u ersetzt, zum Beispiel ∫x·e^(x^2) dx = e^(x^2)/2 oder ∫sin(x)·cos(x) dx = sin(x)^2/2.
Brüche: Bei Nennern bis Grad 2 helfen Polynomdivision, Partialbrüche oder der Arkustangens: ∫1/(x^2+1) dx = arctan(x) und ∫1/(x^2−1) dx = ln|x − 1|/2 − ln|x + 1|/2.
Weitere Fälle: sin², cos² und tan² über Identitäten, eˣ·sin(x) und eˣ·cos(x) durch zweimalige partielle Integration, Polynome mal Wurzeln aus ax + b.

Bestimmtes Integral und Probe

Mit Grenzen berechnet das Tool F(b) − F(a). Gibt es keine Stammfunktion nach diesen Regeln, wird das Integral numerisch mit der adaptiven Simpson-Regel genähert und als Näherung gekennzeichnet. Polstellen im Intervall, etwa bei 1/x von −1 bis 1, werden erkannt und gemeldet. Die Probe leitet das Ergebnis wieder ab; die Gegenrichtung rechnet der Ableitungsrechner. Den Verlauf der Funktion zeigt der Funktionsplotter.

Graph, Fehlerschätzung und Grenzen

Der Graph zeigt f(x) und färbt die Fläche zwischen den Grenzen a und b ein; Teile unter der x-Achse zählen negativ. Die Tasten über dem Graphen fügen x, ^, √, π und die Funktionsnamen an der Schreibmarke ein. Numerische Werte entstehen mit der adaptiven Simpson-Regel und werden mit Gauß-Legendre-Quadratur gegengerechnet; die Abweichung steht im Hinweis. Jede Stammfunktion wird vor der Ausgabe durch Ableiten geprüft. Nicht unterstützt sind unter anderem höhere Potenzen von sin und cos, Nenner ab Grad 3 und Wurzeln aus quadratischen Termen – dann meldet der Rechner „keine Stammfunktion gefunden“, statt zu raten.

Häufige Fragen

Wie berechne ich ein Integral?

Zuerst die Stammfunktion bilden, indem Sie jede Teilfunktion mit der passenden Regel integrieren: Potenzregel für xⁿ, Division durch die innere Ableitung bei Verkettungen, partielle Integration bei Produkten. Für ein bestimmtes Integral setzen Sie danach die Grenzen ein: F(b) − F(a).

Was bedeutet das „+ C“ bei der Stammfunktion?

Eine Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden, weil die Ableitung einer Konstanten null ist. Dieses C steht deshalb beim unbestimmten Integral dabei und fällt beim bestimmten Integral heraus.

Was ist der Unterschied zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral?

Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen, also eine Funktion plus C. Das bestimmte Integral hat Grenzen und ergibt eine Zahl, nämlich die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse.

Warum findet das Tool manchmal keine Stammfunktion?

Nicht jede Funktion lässt sich aus den Standardregeln integrieren, und manche, etwa e^(x²), haben gar keine Stammfunktion aus elementaren Funktionen. Für ein bestimmtes Integral rechnet das Tool dann numerisch.

Wie kontrolliere ich das Ergebnis?

Leiten Sie die Stammfunktion ab: Kommt die ursprüngliche Funktion heraus, stimmt das Integral. Das Tool zeigt diese Probe, und bei bestimmten Integralen vergleicht es den exakten Wert intern mit einer numerischen Rechnung.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand: 5. Oktober 2026 · So prüfen wir