Integraal berekenen

Een integraal berekenen kan hier zonder account: voer een functie van x in en de tool bouwt de primitieve met de gebruikte regels en controleert die door af te leiden. Met twee grenzen berekent hij ook de bepaalde integraal, de oppervlakte onder de grafiek, exact of, zonder bekende primitieve, numeriek.

Bron: Integratieregels: som-, factor- en machtsregel, lineaire substitutie, partiële integratie (standaardstof van de analyse). Bijgewerkt: 5 oktober 2026.

Functie f(x)

bijv. x^2 + 3x, sin(2x), e^(3x), 1/(2x+1), x*e^x, x*ln(x), 1/(x^2+1). Toegestaan: + − * / ^, haakjes, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi

Ondergrens a (optioneel)

voor de bepaalde integraal; laat beide grenzen leeg als je alleen de primitieve zoekt

Bovengrens b (optioneel)

Mijn toolboxJe invoer wordt alleen in deze browser opgeslagen.

Resultaat

Primitieve F(x): x·e^x - e^x + C
Controle: Afgeleide van de primitieve: F′(x) = x·e^x
Bepaalde integraal: Van 0 tot 1: 1 (exact, via de primitieve)
Stappen: Partieel integreren (tabel): de veelterm stap voor stap afleiden, de andere factor stap voor stap integreren: ∫ x·e^x dx = x·e^x - e^x; De primitieve geldt op een constante C na. Ze kan er anders uitzien dan in je antwoordenboek zonder fout te zijn: de controle door af te leiden laat zien of ze bij de functie past.

Zo wordt het berekend

Een integraal is het omgekeerde van differentiëren: de primitieve F van een functie f is de functie waarvan de afgeleide f is. De bepaalde integraal tussen twee grenzen a en b meet de oppervlakte tussen de grafiek en de x-as, waarbij oppervlakten onder de as negatief tellen.

Welke regels de tool toepast

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) voor n ≠ −1; voor 1/x krijg je ln|x|.
Som- en constante-factorregel: sommen worden term voor term geïntegreerd, getallen ervoor blijven staan.
Lineaire binnenfunctie: bij sin(2x), e^(3x) of (2x+1)³ deel je door de afgeleide van binnen.
Partieel integreren: producten van een veelterm met e^(ax), sin(ax), cos(ax) of ln(x) worden in tabelvorm opgelost, bijvoorbeeld ∫x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ.
Substitutie: staat naast h(u) ook de afgeleide u′ in de integrand, dan wordt u vervangen, bijvoorbeeld ∫x·e^(x^2) dx = e^(x^2)/2 of ∫sin(x)·cos(x) dx = sin(x)^2/2.
Breuken: bij noemers tot graad 2 gebruikt de tool staartdeling, breuksplitsen of de arctangens: ∫1/(x^2+1) dx = arctan(x) en ∫1/(x^2−1) dx = ln|x − 1|/2 − ln|x + 1|/2.
Meer gevallen: sin², cos² en tan² via identiteiten, eˣ·sin(x) en eˣ·cos(x) door twee keer partieel te integreren, polynomen maal wortels van ax + b.

Bepaalde integraal en controle

Met grenzen berekent de tool F(b) − F(a). Geven de regels geen primitieve, dan wordt de integraal numeriek benaderd met de adaptieve regel van Simpson en als benadering gemarkeerd. Polen in het interval, zoals bij 1/x van −1 tot 1, worden herkend en gemeld. De controle leidt het resultaat opnieuw af; de omgekeerde richting rekent de afgeleide-rekenmachine. Het verloop van de functie zie je in de functieplotter.

Grafiek, foutschatting en grenzen

De grafiek toont f(x) en kleurt de oppervlakte tussen de grenzen a en b; delen onder de x-as tellen negatief. De toetsen boven de grafiek voegen x, ^, √, π en de functienamen in op de plaats van de cursor. Numerieke waarden komen uit de adaptieve regel van Simpson en worden gecontroleerd met Gauss-Legendre-kwadratuur; het verschil staat in de opmerking. Elke primitieve wordt vóór weergave gecontroleerd door af te leiden. Niet ondersteund zijn onder meer hogere machten van sin en cos, noemers vanaf graad 3 en wortels van kwadratische termen – de rekenmachine meldt dan dat er geen primitieve is gevonden, in plaats van te gokken.

Veelgestelde vragen

Hoe bereken ik een integraal?

Bouw eerst de primitieve op door elk deel met de passende regel te integreren: machtsregel voor xⁿ, delen door de afgeleide van binnen bij samengestelde functies, partieel integreren bij producten. Voor een bepaalde integraal vul je daarna de grenzen in: F(b) − F(a).

Wat betekent “+ C”?

Een functie heeft oneindig veel primitieven die alleen door een constante verschillen, omdat de afgeleide van een constante nul is. Die C hoort bij de onbepaalde integraal en valt bij de bepaalde weg.

Wat is het verschil tussen bepaalde en onbepaalde integraal?

De onbepaalde integraal is de verzameling van alle primitieven, een functie plus C. De bepaalde integraal heeft grenzen en levert een getal op: de oppervlakte met teken tussen de grafiek en de x-as.

Waarom vindt de tool soms geen primitieve?

Niet elke functie is met de standaardregels te integreren, en sommige, zoals e^(x²), hebben helemaal geen primitieve uit elementaire functies. Bij een bepaalde integraal rekent de tool dan numeriek.

Hoe controleer ik het resultaat?

Leid de primitieve af: komt de oorspronkelijke functie eruit, dan klopt de integraal. De tool toont deze controle en vergelijkt bij bepaalde integralen de exacte waarde intern met een numerieke berekening.

Bronnen en wettelijke basis

Bijgewerkt op: 5 oktober 2026 · Redactioneel beleid