İntegral hesaplama

İntegral hesaplama için kayıt gerekmez: x değişkenli bir fonksiyon girin, araç ilkel fonksiyonu kullanılan kurallarla birlikte oluşturur ve türev alarak doğrular. İki sınır girerseniz belirli integrali, yani grafiğin altındaki alanı da hesaplar; ilkel fonksiyon bilinmiyorsa sayısal olarak.

Kaynak: İntegral kuralları: toplam, çarpan ve kuvvet kuralları, doğrusal değişken değiştirme, kısmi integrasyon (analizin standart konusu). Güncelleme: 5 Ekim 2026.

Fonksiyon f(x)

örn. x^2 + 3x, sin(2x), e^(3x), 1/(2x+1), x*e^x, x*ln(x), 1/(x^2+1). İzin verilenler: + − * / ^, parantez, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi

Alt sınır a (isteğe bağlı)

belirli integral için; yalnızca ilkel fonksiyon gerekiyorsa iki sınırı da boş bırakın

Üst sınır b (isteğe bağlı)

AraçlarımGirdileriniz yalnızca bu tarayıcıda saklanır.

Sonuç

İlkel fonksiyon F(x): x·e^x - e^x + C
Doğrulama: İlkel fonksiyonun türevi: F′(x) = x·e^x
Belirli integral: 0 ile 1 arası: 1 (tam değer, ilkel fonksiyonla)
Adımlar: Kısmi integrasyon (tablo): polinomun türevi adım adım alınır, diğer çarpanın integrali adım adım alınır: ∫ x·e^x dx = x·e^x - e^x; İlkel fonksiyon bir C sabitine kadar geçerlidir. Kitabınızdaki cevaptan farklı görünebilir, bu yanlış olduğu anlamına gelmez: türev alarak doğrulama, fonksiyona uyup uymadığını gösterir.

Nasıl hesaplanır?

İntegral, türevin tersidir: bir f fonksiyonunun ilkel fonksiyonu F, türevi f olan fonksiyondur. a ve b sınırları arasındaki belirli integral, grafik ile x ekseni arasındaki alanı ölçer; eksenin altındaki alanlar negatif sayılır.

Aracın uyguladığı kurallar

Kuvvet kuralı: n ≠ −1 için ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1); 1/x için sonuç ln|x| olur.
Toplam ve sabit çarpan: toplamların integrali terim terim alınır, öndeki sayılar kalır.
Doğrusal iç fonksiyon: sin(2x), e^(3x) veya (2x+1)³ gibi ifadelerde iç türeve bölünür.
Kısmi integrasyon: bir polinomla e^(ax), sin(ax), cos(ax) ya da ln(x) çarpımları tablo yöntemiyle çözülür; örneğin ∫x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ.
Değişken değiştirme: integrandda h(u) ile birlikte u′ türevi de varsa u yerine konur, örneğin ∫x·e^(x^2) dx = e^(x^2)/2 veya ∫sin(x)·cos(x) dx = sin(x)^2/2.
Kesirler: derecesi en çok 2 olan paydalarda polinom bölmesi, basit kesirler veya arktanjant kullanılır: ∫1/(x^2+1) dx = arctan(x) ve ∫1/(x^2−1) dx = ln|x − 1|/2 − ln|x + 1|/2.
Diğer durumlar: sin², cos² ve tan² özdeşliklerle, eˣ·sin(x) ve eˣ·cos(x) iki kez kısmi integralle, polinom çarpı ax + b kökleri.

Belirli integral ve doğrulama

Sınır girildiğinde araç F(b) − F(a) değerini hesaplar. Kurallar ilkel fonksiyon vermiyorsa integral uyarlamalı Simpson kuralıyla sayısal olarak yaklaştırılır ve yaklaşım olarak işaretlenir. Aralıktaki kutup noktaları, örneğin −1’den 1’e 1/x, algılanır ve bildirilir. Doğrulama sonucun türevini yeniden alır; ters yönü türev hesaplama aracı yapar. Fonksiyonun grafiğini fonksiyon çizici ile görebilirsiniz.

Grafik, hata tahmini ve sınırlar

Grafik f(x) fonksiyonunu çizer ve a ile b sınırları arasındaki alanı boyar; x ekseninin altındaki kısımlar negatif sayılır. Grafiğin üstündeki tuşlar x, ^, √, π ve fonksiyon adlarını imlecin bulunduğu yere ekler. Sayısal değerler uyarlamalı Simpson kuralıyla hesaplanır ve Gauss-Legendre kareleme yöntemiyle kontrol edilir; fark notta yazar. Her ilkel fonksiyon gösterilmeden önce türevi alınarak doğrulanır. sin ve cos’un yüksek kuvvetleri, derecesi 3 veya daha büyük paydalar ve ikinci dereceden ifadelerin kökleri gibi durumlar desteklenmez; araç o zaman tahmin yürütmek yerine ilkel fonksiyon bulunamadığını bildirir.

Sıkça sorulan sorular

İntegral nasıl hesaplanır?

Önce her parçayı uygun kuralla integre ederek ilkel fonksiyonu oluşturursunuz: xⁿ için kuvvet kuralı, iç içe fonksiyonlarda iç türeve bölme, çarpımlarda kısmi integrasyon. Belirli integralde sonra sınırları yerine koyarsınız: F(b) − F(a).

“+ C” ne anlama gelir?

Bir fonksiyonun, yalnızca bir sabitle birbirinden ayrılan sonsuz sayıda ilkel fonksiyonu vardır; çünkü sabitin türevi sıfırdır. Bu C belirsiz integralde yazılır, belirli integralde ise sadeleşir.

Belirli ve belirsiz integral arasındaki fark nedir?

Belirsiz integral, tüm ilkel fonksiyonların kümesidir; yani bir fonksiyon artı C. Belirli integralin sınırları vardır ve bir sayı verir: grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alan.

Araç neden bazen ilkel fonksiyon bulamıyor?

Her fonksiyon standart kurallarla integre edilemez; e^(x²) gibi bazılarının temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ilkel fonksiyonu hiç yoktur. Belirli integralde araç bu durumda sayısal hesap yapar.

Sonucu nasıl doğrularım?

İlkel fonksiyonun türevini alın: ilk fonksiyon çıkıyorsa integral doğrudur. Araç bu doğrulamayı gösterir; belirli integrallerde ayrıca tam değeri dahili olarak bir sayısal hesapla karşılaştırır.

Kaynaklar ve yasal dayanak

Güncelleme: 5 Ekim 2026 · Editoryal ilkeler