積分の計算

計算方法

積分は微分の逆の操作です。関数 f の原始関数 F とは、微分すると f になる関数のことです。2つの端点 a、b の間の定積分は、グラフとx軸のあいだの面積を表し、x軸より下の部分は負として数えます。

ツールが使う公式

• べき乗：n ≠ −1 のとき ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)。1/x の積分は ln|x| です。
• 和と定数倍：和は項ごとに積分し、前に付く数はそのまま残します。
• 一次式を含む形：sin(2x)、e^(3x)、(2x+1)³ などは、内側の微分で割ります。
• 部分積分：多項式と e^(ax)、sin(ax)、cos(ax)、ln(x) の積は、表の方法で解きます。たとえば ∫x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ です。
• 置換積分：被積分関数に h(u) とその導関数 u′ が含まれるときは u に置き換えます。例：∫x·e^(x^2) dx = e^(x^2)/2、∫sin(x)·cos(x) dx = sin(x)^2/2。
• 分数：分母が2次までなら、多項式の割り算・部分分数分解・逆正接を使います。∫1/(x^2+1) dx = arctan(x)、∫1/(x^2−1) dx = ln|x − 1|/2 − ln|x + 1|/2。
• そのほか：sin²・cos²・tan² は公式で、eˣ·sin(x) と eˣ·cos(x) は部分積分を2回、ax + b の根号と多項式の積にも対応します。

定積分と検算

端点を入力すると、F(b) − F(a) を計算します。公式で原始関数が求まらないときは、適応シンプソン法で数値的に近似し、近似であることを表示します。−1から1までの 1/x のように区間内に極があるときは、検出してお知らせします。検算では結果をもう一度微分します。逆の向きの計算は微分の計算で、関数の形は関数グラフで確認できます。

グラフ・誤差の見積もり・できないこと

グラフは f(x) を描き、端点 a と b の間の面積に色をつけます。x 軸より下の部分は負として数えます。グラフの上のキーで x、^、√、π や関数名をカーソル位置に入力できます。数値計算は適応シンプソン則で行い、ガウス・ルジャンドル求積で検算します。両者の差は注記に表示されます。原始関数は表示の前に必ず微分して確かめています。sin や cos の高いべき、3次以上の分母、2次式の根号などには対応しておらず、その場合は推測せずに「原始関数が見つかりません」と表示します。

よくある質問

出典・根拠

• 積分の規則：和・定数倍・べき乗の規則、1次式による置換、部分積分（解析学の標準的な内容）
• NIST Digital Library of Mathematical Functions – Elementary Functions (Stammfunktionen elementarer Funktionen)
• 適応型シンプソン則（原始関数が分からない定積分のための数値積分）
• NIST DLMF §3.5 – Quadrature（検算用のガウス＝ルジャンドル求積の節点と重み）
• 置換積分と部分分数分解（解析学の標準的内容）

更新日：2026年10月5日 · 編集方針