Kalkulator całek

Ten kalkulator całek działa bez rejestracji: wpisz funkcję zmiennej x, a narzędzie zbuduje funkcję pierwotną wraz z użytymi regułami i sprawdzi ją przez różniczkowanie. Po podaniu dwóch granic obliczy też całkę oznaczoną, czyli pole pod wykresem – dokładnie albo, gdy funkcji pierwotnej nie znamy, numerycznie.

Źródło: Reguły całkowania: reguły sumy, czynnika stałego i potęgi, podstawienie liniowe, całkowanie przez części (standardowy materiał z analizy matematycznej). Stan na: 5 października 2026.

Funkcja f(x)

np. x^2 + 3x, sin(2x), e^(3x), 1/(2x+1), x*e^x, x*ln(x), 1/(x^2+1). Dozwolone: + − * / ^, nawiasy, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi

Dolna granica a (opcjonalnie)

dla całki oznaczonej; zostaw obie granice puste, jeśli potrzebna jest tylko funkcja pierwotna

Górna granica b (opcjonalnie)

Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Funkcja pierwotna F(x): x·e^x - e^x + C
Sprawdzenie: Pochodna funkcji pierwotnej: F′(x) = x·e^x
Całka oznaczona: Od 0 do 1: 1 (dokładnie, przez funkcję pierwotną)
Kroki: Całkowanie przez części (tabela): wielomian różniczkujemy krok po kroku, drugi czynnik całkujemy krok po kroku: ∫ x·e^x dx = x·e^x - e^x; Funkcja pierwotna obowiązuje z dokładnością do stałej C. Może wyglądać inaczej niż w Twoim zbiorze zadań, a mimo to być poprawna: sprawdzenie przez różniczkowanie pokazuje, czy pasuje do funkcji.

Jak to obliczamy

Całka jest operacją odwrotną do różniczkowania: funkcja pierwotna F funkcji f to taka funkcja, której pochodną jest f. Całka oznaczona między granicami a i b mierzy pole między wykresem a osią x, przy czym pola pod osią liczone są ujemnie.

Jakie reguły stosuje narzędzie

Potęga: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) dla n ≠ −1; dla 1/x wynik to ln|x|.
Suma i stała: sumy całkuje się wyraz po wyrazie, liczby przed wyrażeniem zostają.
Liniowa funkcja wewnętrzna: przy sin(2x), e^(3x) czy (2x+1)³ dzieli się przez pochodną wewnętrzną.
Całkowanie przez części: iloczyny wielomianu z e^(ax), sin(ax), cos(ax) lub ln(x) narzędzie rozwiązuje tabelarycznie, np. ∫x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ.
Podstawienie: jeśli obok h(u) występuje pochodna u′, podstawia się u, na przykład ∫x·e^(x^2) dx = e^(x^2)/2 albo ∫sin(x)·cos(x) dx = sin(x)^2/2.
Ułamki: przy mianownikach do stopnia 2 narzędzie stosuje dzielenie wielomianów, ułamki proste lub arcus tangens: ∫1/(x^2+1) dx = arctan(x) oraz ∫1/(x^2−1) dx = ln|x − 1|/2 − ln|x + 1|/2.
Inne przypadki: sin², cos² i tan² z tożsamości, eˣ·sin(x) i eˣ·cos(x) przez dwukrotne całkowanie przez części, wielomiany razy pierwiastki z ax + b.

Całka oznaczona i sprawdzenie

Z granicami narzędzie liczy F(b) − F(a). Jeśli reguły nie dają funkcji pierwotnej, całka jest przybliżana numerycznie adaptacyjną metodą Simpsona i oznaczona jako przybliżenie. Bieguny w przedziale, np. przy 1/x od −1 do 1, są wykrywane i zgłaszane. Sprawdzenie różniczkuje wynik ponownie; kierunek odwrotny obsługuje kalkulator pochodnych. Przebieg funkcji zobaczysz w wykresie funkcji.

Wykres, oszacowanie błędu i ograniczenia

Wykres pokazuje f(x) i zamalowuje pole między granicami a i b; części pod osią x liczą się ujemnie. Klawisze nad wykresem wstawiają x, ^, √, π i nazwy funkcji w miejscu kursora. Wartości numeryczne pochodzą z adaptacyjnej metody Simpsona i są sprawdzane kwadraturą Gaussa-Legendre’a; różnica jest podana w uwadze. Każda funkcja pierwotna jest przed wyświetleniem sprawdzana przez różniczkowanie. Nieobsługiwane są między innymi wyższe potęgi sin i cos, mianowniki stopnia 3 lub wyższego oraz pierwiastki z wyrażeń kwadratowych – kalkulator zgłasza wtedy, że nie znalazł funkcji pierwotnej, zamiast zgadywać.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć całkę?

Najpierw zbuduj funkcję pierwotną, całkując każdą część odpowiednią regułą: potęgi dla xⁿ, dzielenia przez pochodną wewnętrzną przy funkcjach złożonych, całkowania przez części przy iloczynach. Dla całki oznaczonej podstaw potem granice: F(b) − F(a).

Co oznacza „+ C”?

Funkcja ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych, różniących się tylko stałą, bo pochodna stałej wynosi zero. To C występuje w całce nieoznaczonej i znika w całce oznaczonej.

Czym różni się całka oznaczona od nieoznaczonej?

Całka nieoznaczona to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych, czyli funkcja plus C. Całka oznaczona ma granice i daje liczbę: pole ze znakiem między wykresem a osią x.

Dlaczego narzędzie czasem nie znajduje funkcji pierwotnej?

Nie każdą funkcję da się scałkować standardowymi regułami, a niektóre, jak e^(x²), w ogóle nie mają funkcji pierwotnej z funkcji elementarnych. Dla całki oznaczonej narzędzie liczy wtedy numerycznie.

Jak sprawdzić wynik?

Zróżniczkuj funkcję pierwotną: jeśli wyjdzie funkcja wyjściowa, całka jest poprawna. Narzędzie pokazuje to sprawdzenie, a przy całkach oznaczonych porównuje wewnętrznie wartość dokładną z obliczeniem numerycznym.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: 5 października 2026 · Zasady redakcyjne