Calcolatore integrali

Questo calcolatore integrali non richiede registrazione: inserisci una funzione di x e lo strumento costruisce la primitiva con le regole usate e la verifica derivando. Con due estremi calcola anche l’integrale definito, cioè l’area sotto il grafico, in modo esatto o, senza primitiva nota, numerico.

Fonte: Regole di integrazione: regola della somma, del fattore costante e della potenza, sostituzione lineare, integrazione per parti (contenuto standard dell'analisi). Aggiornato al: 5 ottobre 2026.

Funzione f(x)

ad es. x^2 + 3x, sin(2x), e^(3x), 1/(2x+1), x*e^x, x*ln(x), 1/(x^2+1). Ammessi: + − * / ^, parentesi, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi

Estremo inferiore a (facoltativo)

per l’integrale definito; lascia vuoti entrambi gli estremi se ti serve solo la primitiva

Estremo superiore b (facoltativo)

I miei strumentiI dati inseriti vengono salvati solo in questo browser.

Risultato

Primitiva F(x): x·e^x - e^x + C
Verifica: Derivata della primitiva: F′(x) = x·e^x
Integrale definito: Da 0 a 1: 1 (esatto, tramite la primitiva)
Passaggi: Integrazione per parti (tabellare): derivare il polinomio passo dopo passo e integrare l’altro fattore passo dopo passo: ∫ x·e^x dx = x·e^x - e^x; La primitiva vale a meno di una costante C. Può avere un aspetto diverso dalla soluzione del libro senza essere sbagliata: la verifica derivando mostra se corrisponde alla funzione.

Come si calcola

L’integrale è l’operazione inversa della derivata: la primitiva F di una funzione f è la funzione la cui derivata è f. L’integrale definito tra due estremi a e b misura l’area tra il grafico e l’asse x, e le aree sotto l’asse contano come negative.

Quali regole applica lo strumento

Potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) per n ≠ −1; per 1/x si ottiene ln|x|.
Somma e fattore costante: le somme si integrano termine per termine, i numeri davanti restano.
Funzione interna lineare: per sin(2x), e^(3x) o (2x+1)³ si divide per la derivata interna.
Integrazione per parti: i prodotti di un polinomio con e^(ax), sin(ax), cos(ax) o ln(x) si risolvono in forma tabellare, ad esempio ∫x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ.
Sostituzione: se nell’integranda compare h(u) insieme alla derivata u′, si sostituisce u, per esempio ∫x·e^(x^2) dx = e^(x^2)/2 oppure ∫sin(x)·cos(x) dx = sin(x)^2/2.
Frazioni: con denominatori fino al grado 2 si usano la divisione tra polinomi, i fratti semplici o l’arcotangente: ∫1/(x^2+1) dx = arctan(x) e ∫1/(x^2−1) dx = ln|x − 1|/2 − ln|x + 1|/2.
Altri casi: sin², cos² e tan² tramite identità, eˣ·sin(x) ed eˣ·cos(x) integrando per parti due volte, polinomi per radici di ax + b.

Integrale definito e verifica

Con gli estremi lo strumento calcola F(b) − F(a). Se le regole non danno una primitiva, l’integrale viene approssimato numericamente con la regola di Simpson adattiva e indicato come approssimazione. I poli nell’intervallo, come 1/x da −1 a 1, vengono riconosciuti e segnalati. La verifica deriva di nuovo il risultato; la direzione opposta la svolge il calcolatore di derivate. L’andamento della funzione si vede nel tracciatore di funzioni.

Grafico, stima dell’errore e limiti

Il grafico mostra f(x) e colora l’area tra gli estremi a e b; le parti sotto l’asse x contano come negative. I tasti sopra il grafico inseriscono x, ^, √, π e i nomi delle funzioni nella posizione del cursore. I valori numerici sono calcolati con la regola di Simpson adattiva e controllati con la quadratura di Gauss-Legendre; lo scarto è indicato nella nota. Ogni primitiva viene verificata derivando prima di essere mostrata. Non sono supportati, tra l’altro, potenze elevate di sin e cos, denominatori di grado 3 o superiore e radici di termini quadratici: in quel caso il calcolatore segnala che non ha trovato una primitiva, invece di tirare a indovinare.

Domande frequenti

Come si calcola un integrale?

Si costruisce prima la primitiva integrando ogni parte con la regola adatta: potenza per xⁿ, divisione per la derivata interna nelle funzioni composte, integrazione per parti nei prodotti. Per un integrale definito si sostituiscono poi gli estremi: F(b) − F(a).

Che cosa significa il «+ C»?

Una funzione ha infinite primitive che differiscono solo per una costante, perché la derivata di una costante è zero. Questa C compare nell’integrale indefinito e si annulla in quello definito.

Che differenza c’è tra integrale definito e indefinito?

L’integrale indefinito è l’insieme di tutte le primitive, una funzione più C. Quello definito ha degli estremi e dà un numero: l’area con segno tra il grafico e l’asse x.

Perché a volte lo strumento non trova una primitiva?

Non ogni funzione si integra con le regole standard, e alcune, come e^(x²), non hanno una primitiva esprimibile con funzioni elementari. Per un integrale definito lo strumento calcola allora in modo numerico.

Come verifico il risultato?

Deriva la primitiva: se ottieni la funzione di partenza, l’integrale è corretto. Lo strumento mostra questa verifica e, per gli integrali definiti, confronta internamente il valore esatto con un calcolo numerico.

Fonti e riferimenti normativi

Aggiornato al: 5 ottobre 2026 · Principi editoriali