Modulo-Rechner

Der Modulo-Rechner liefert den Rest einer Division: 17 mod 5 = 2, weil 17 = 3 · 5 + 2. Dazu rechnet er große Potenzen mod m (Quadrieren und Multiplizieren) und das modulare Inverse – exakt, auch bei Zahlen mit bis zu 60 Stellen, und mit sichtbarem Rechenweg.

Quelle: Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen). Stand: 2. Oktober 2026.

So wird gerechnet

„a mod m“ ist der Rest, der bei der Division von a durch m übrig bleibt. Aus 17 = 3 · 5 + 2 folgt 17 mod 5 = 2. Die Modulo-Rechnung ist die „Uhrenarithmetik“: Nach 12 Stunden beginnt die Zählung neu, 15 Uhr entspricht 3 Uhr, weil 15 mod 12 = 3.

Drei Aufgaben in einem Rechner

Rest: Der Rechner zeigt die Zerlegung a = q · m + r. Bei negativen Zahlen unterscheidet er die mathematische Konvention (Rest immer ≥ 0) von dem Rest, den die Operatoren vieler Programmiersprachen liefern.
Potenz mod m: 4¹³ mod 497 ließe sich nicht im Kopf ausmultiplizieren. Beim Quadrieren und Multiplizieren wird jeder Zwischenschritt sofort mod m gekürzt, so bleiben auch Exponenten mit 60 Stellen schnell berechenbar – die Grundlage von RSA.
Modulares Inverses: Das Inverse von a mod m ist die Zahl x mit a · x ≡ 1 (mod m). Es existiert nur, wenn a und m teilerfremd sind; der erweiterte euklidische Algorithmus findet es.

Wozu braucht man das?

Beim Wochentag (mod 7), bei Prüfziffern von IBAN und ISBN, in der Kryptografie und bei Hash-Tabellen. Wer den größten gemeinsamen Teiler braucht, nutzt den GGT-und-KGV-Rechner; das klassische Verschlüsseln durch Verschieben (Rest mod 26) zeigt die Caesar-Verschlüsselung.

Häufige Fragen

Was bedeutet modulo?

a mod m ist der Rest bei der ganzzahligen Division von a durch m. 17 mod 5 = 2, 20 mod 5 = 0. Zwei Zahlen sind „kongruent modulo m“, wenn sie denselben Rest haben.

Wie berechnet man Modulo ohne Taschenrechner?

Man zieht so oft ein Vielfaches von m ab, bis ein Wert zwischen 0 und m−1 übrig bleibt. Für 100 mod 7: 100 − 98 = 2, denn 98 = 14 · 7.

Was ist 5 mod 0?

Nicht definiert – durch 0 kann man nicht teilen. Der Rechner meldet dann einen Fehler.

Wie berechnet man eine große Potenz mod m?

Durch wiederholtes Quadrieren: Man quadriert die Basis Schritt für Schritt (jeweils mod m) und multipliziert die Zwischenergebnisse, bei denen im Exponenten (binär) eine 1 steht. Die Tabelle zeigt jeden Schritt.

Wann gibt es ein modulares Inverses?

Genau dann, wenn der größte gemeinsame Teiler von a und m gleich 1 ist. Modulo 11 hat jede Zahl von 1 bis 10 ein Inverses, modulo 9 hat die 6 keines.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand: 2. Oktober 2026 · So prüfen wir