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ggT- und kgV-Rechner

Der ggT- und kgV-Rechner braucht nur die Zahlen, getrennt durch Komma oder Leerzeichen – zwei bis zehn natürliche Zahlen. Sie erhalten ggT, kgV und beide Lösungswege.

Quelle: Wolfram MathWorld – Größter gemeinsamer Teiler (englisch). Stand: .

natürliche Zahlen bis 10¹², getrennt durch Komma, Semikolon oder Leerzeichen
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Ergebnis

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
ggT(12, 18, 30) = 6
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
kgV(12, 18, 30) = 180
Primfaktorzerlegung
  • 12 = 2² · 3
  • 18 = 2 · 3²
  • 30 = 2 · 3 · 5
Lösung mit Primfaktoren
  • ggT = gemeinsame Primfaktoren mit dem kleinsten Exponenten: 2 · 3 = 6
  • kgV = alle Primfaktoren mit dem größten Exponenten: 2² · 3² · 5 = 180
Euklidischer Algorithmus
  • ggT(12, 18):
  • 18 = 1 · 12 + 6
  • 12 = 2 · 6 + 0
  • ggT(6, 30):
  • 30 = 5 · 6 + 0
Alle gemeinsamen Teiler
1, 2, 3, 6

So wird gerechnet

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilt; das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller Zahlen ist. Für 12 und 18 gilt ggT = 6 und kgV = 36. Für zwei Zahlen hängen beide zusammen: ggT · kgV = a · b.

ggT und kgV mit der Primfaktorzerlegung

Zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. Für den ggT nehmen Sie nur die Primfaktoren, die in allen Zahlen vorkommen, jeweils mit dem kleinsten Exponenten: 2 · 3 = 6. Für das kgV nehmen Sie alle Primfaktoren mit dem größten Exponenten: 2² · 3² · 5 = 180.

ggT mit dem euklidischen Algorithmus

Schneller bei großen Zahlen: Die größere Zahl durch die kleinere teilen, dann den Divisor durch den Rest – so lange, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT. Beispiel: 1071 = 2 · 462 + 147, 462 = 3 · 147 + 21, 147 = 7 · 21 + 0 → ggT = 21. Dieses Verfahren steht schon in Euklids „Elementen“ (Buch VII).

Wofür braucht man ggT und kgV?

Mit Brüchen weiterrechnen können Sie im Bruchrechner, Dezimalzahlen umwandeln im Dezimal-in-Bruch-Rechner, und für beliebige Rechnungen gibt es den Taschenrechner.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den ggT?

Entweder beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen und die gemeinsamen Faktoren multiplizieren (12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² → 2 · 3 = 6) oder mit dem euklidischen Algorithmus fortgesetzt mit Rest teilen.

Wie berechnet man das kgV?

Alle Primfaktoren mit dem höchsten Exponenten multiplizieren: kgV(12, 18) = 2² · 3² = 36. Für zwei Zahlen geht auch kgV = a · b ÷ ggT = 12 · 18 ÷ 6 = 36.

Wie finde ich ggT und kgV von drei Zahlen?

Schrittweise: erst ggT bzw. kgV der ersten beiden, dann mit der dritten Zahl. ggT(12, 18, 30) = ggT(6, 30) = 6, kgV(12, 18, 30) = kgV(36, 30) = 180.

Was bedeutet teilerfremd?

Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist, etwa 8 und 15. Dann ist ihr kgV einfach das Produkt: 8 · 15 = 120.

Wozu braucht man das kgV bei Brüchen?

Um Brüche gleichnamig zu machen: Der Hauptnenner ist das kgV der Nenner. 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12, weil kgV(4, 6) = 12.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand:

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