Zahlenfolge-Rechner
Der Zahlenfolge-Rechner erkennt, nach welcher Regel eine Folge aufgebaut ist, setzt sie fort und nennt das Bildungsgesetz. Außerdem berechnet er das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder – oder erzeugt eine arithmetische und geometrische Folge aus Startwert und Schritt.
Quelle: Wikipedia – Arithmetische Folge (Bildungsgesetz, Summenformel). Stand: .
So wird gerechnet
Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Liste von Zahlen a₁, a₂, a₃ … nach einer festen Regel. Der Rechner prüft, ob die Glieder eine gleichbleibende Differenz, einen gleichbleibenden Quotienten, die Fibonacci-Regel oder eine konstante zweite Differenz haben.
Die vier erkannten Folgen
- Arithmetische Folge: Jedes Glied unterscheidet sich vom vorigen um dasselbe d. Formel aₙ = a₁ + (n − 1)·d, Summe der ersten n Glieder Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2. Beispiel 3, 7, 11, 15: d = 4.
- Geometrische Folge: Jedes Glied ist das q-fache des vorigen. Formel aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, Summe Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Beispiel 2, 6, 18, 54: q = 3. Ist |q| < 1, nähert sich die unendliche Reihe dem Wert a₁ ÷ (1 − q).
- Fibonacci-artige Folge: Jedes Glied ist die Summe der beiden vorigen, etwa 1, 1, 2, 3, 5, 8.
- Quadratische Folge: Die Differenzen der Glieder bilden eine arithmetische Folge, die zweite Differenz ist konstant. Beispiel 1, 4, 9, 16 mit aₙ = n².
Wozu das gebraucht wird
Arithmetische Folgen stecken in gleichmäßigen Ratenzahlungen, geometrische in Wachstum und Zinsen – siehe den Zinseszinsrechner und den Potenzrechner. Für den Durchschnitt einer Reihe von Werten hilft der Mittelwert-Rechner.
Häufige Fragen
Wie erkenne ich die Regel einer Zahlenfolge?
Bilden Sie die Differenzen benachbarter Glieder. Sind sie alle gleich, ist die Folge arithmetisch. Sind die Quotienten benachbarter Glieder gleich, ist sie geometrisch. Sind erst die Differenzen der Differenzen gleich, ist sie quadratisch.
Wie berechne ich das n-te Glied?
Bei einer arithmetischen Folge aₙ = a₁ + (n − 1)·d, bei einer geometrischen aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Bei 3, 7, 11 mit d = 4 ist das zehnte Glied 3 + 9·4 = 39.
Wie berechne ich die Summe der ersten n Glieder?
Arithmetisch: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2, das ist die Gaußsche Summenformel. Geometrisch: Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Für 3, 7, 11 … sind die ersten zehn Glieder zusammen 210.
Was ist die Fibonacci-Folge?
Eine Folge, bei der jedes Glied die Summe der beiden vorigen ist: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … Der Quotient benachbarter Glieder nähert sich dem Goldenen Schnitt von etwa 1,618.
Warum findet der Rechner manchmal keine Regel?
Es werden nur die vier genannten Folgentypen geprüft. Folgen wie die Primzahlen folgen anderen Regeln. Mit mehr Gliedern wird die Erkennung zuverlässiger.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Arithmetische Folge (Bildungsgesetz, Summenformel)
- Wikipedia – Geometrische Folge (Bildungsgesetz, geometrische Reihe)
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
- Potenzrechner mit RechenwegPotenzen, n-te Wurzeln und Logarithmen online berechnen – mit Rechenweg, negativen und gebrochenen Exponenten, ln, lg und wissenschaftlicher Schreibweise.
- ZinseszinsrechnerZinseszinsrechner: Endkapital aus Startkapital, Sparrate, Dynamik und Zins – mit Abgeltungsteuer, Kaufkraft nach Inflation, Zeit bis zum Ziel, Jahrestabelle.
- Mittelwert berechnenMittelwert berechnen: Durchschnitt, Median, Modus und gewichtetes Mittel mit Rechenweg und Häufigkeitstabelle – dazu der fehlende Wert für ein Ziel.
- Primfaktorzerlegung – RechnerPrimfaktorzerlegung-Rechner mit Lösungsweg: jede Zahl bis 10¹² in Primfaktoren zerlegen, Faktorbaum, Primzahltest, Anzahl und Summe aller Teiler – kostenlos.
- Taschenrechner onlineKostenloser Online-Taschenrechner: tippen oder klicken, Ergebnis sofort – mit Punkt-vor-Strich, Klammern, Prozent, Wurzel, Rechenweg und Verlauf.
- Collatz-Folge berechnenCollatz-Folge berechnen: Schritte bis zur 1, höchster Wert, gerade und ungerade Schritte, die ganze Folge und Rekord-Startzahlen bis zu einer Grenze.
- Fibonacci-Zahlen berechnenFibonacci-Zahlen berechnen: n-te Zahl bis F(20000), die Folge als Liste, Prüfung einer Zahl und Zeckendorf-Darstellung, dazu Goldener Schnitt. Kostenlos.
- Pascalsches DreieckPascalsches Dreieck bis Zeile 60 erzeugen: Zeile und ganzes Dreieck anzeigen, (a+b)^n und (a−b)^n entwickeln und Eigenschaften wie Summe und Fibonacci prüfen.
- Modulo-RechnerModulo-Rechner für den Rest einer Division, große Potenzen mod m und das modulare Inverse – mit Rechenweg, exakt auch bei Zahlen mit 60 Stellen.