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Zahlensysteme umrechnen mit Rechenweg

Zahl eingeben, Ausgangs- und Zielsystem wählen – fertig. Der Rechner arbeitet exakt auch mit riesigen Zahlen, erkennt periodische Nachkommastellen und zeigt jeden Schritt: Division mit Rest, Stellenwerte und Multiplikationsverfahren.

z. B. 255, −42, 0,1, FF oder 0x1F – Präfixe 0x, 0b und 0o sind erlaubt
Nicht abbrechende Darstellungen werden danach abgeschnitten
Negative Ganzzahlen als Bitmuster; Eingaben zur Basis 2, 8 oder 16 werden als Bitmuster gelesen
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Ergebnis

Ergebnis
FF
Binär (Basis 2)
1111 1111
Oktal (Basis 8)
377
Dezimal (Basis 10)
255
Hexadezimal (Basis 16)
FF
Rechenweg
  • Ganzzahlteil: fortlaufend durch 16 teilen, der Rest ist jeweils die nächste Ziffer:
  • 255 : 16 = 15 Rest 15 (F)
  • 15 : 16 = 0 Rest 15 (F)
  • Reste von unten nach oben gelesen: FF₁₆

So wird gerechnet

So funktionieren Stellenwertsysteme

In einem Stellenwertsystem zur Basis b hat jede Ziffer den Wert Ziffer · bPosition. Im Dezimalsystem (b = 10) bedeutet 255 also 2 · 10² + 5 · 10¹ + 5 · 10⁰. Das Binärsystem (Dualsystem) kennt nur die Ziffern 0 und 1, das Oktalsystem 0 bis 7, das Hexadezimalsystem 0 bis 9 und A bis F (A = 10 … F = 15). Ab Basis 11 kommen Buchstaben hinzu, bis Z = 35 bei Basis 36.

Zahlensysteme umrechnen – so geht's

  1. Die Zahl eingeben, auch mit Nachkommastellen oder Minuszeichen.
  2. „Von Basis“ und „Nach Basis“ wählen (binär, oktal, dezimal, hexadezimal), optional die Zahl der Nachkommastellen und das Zweierkomplement mit 8 bis 64 Bit.
  3. Ergebnis in allen vier Systemen und den Rechenweg ablesen.
DezimalBinärOktalHexadezimal
10101012A
15111117F
100110 010014464
2551111 1111377FF

Von einer Basis ins Dezimalsystem: Stellenwerte addieren

Jede Ziffer mit ihrer Stellenwert-Potenz multiplizieren und alles addieren: FF₁₆ = 15 · 16¹ + 15 · 16⁰ = 240 + 15 = 255. Nachkommastellen bekommen negative Exponenten: 0,1₂ = 1 · 2⁻¹ = 0,5.

Vom Dezimalsystem in eine Basis: Division mit Rest

Die Zahl fortlaufend durch die Zielbasis teilen und die Reste notieren, bis 0 übrig bleibt. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben das Ergebnis. Beispiel 13 → binär:

Von unten gelesen: 13 = 1101₂.

Nachkommastellen: Multiplikationsverfahren und Periode

Den Nachkommateil fortlaufend mit der Basis multiplizieren; die Ziffer vor dem Komma ist jeweils die nächste Nachkommastelle, weiter geht es mit dem Rest. 0,1 → binär: 0,1 · 2 = 0,2 → 0; 0,4 → 0; 0,8 → 0; 1,6 → 1; 1,2 → 1; danach wiederholt sich 0,4. Ergebnis: 0,1 = 0,0(0011)₂ – periodisch. Darum kann ein Computer 0,1 binär nie exakt speichern.

Ob eine Darstellung abbricht, hängt nur vom gekürzten Nenner ab: Sie bricht genau dann ab, wenn jeder Primfaktor des Nenners auch die Basis teilt. 1/2 bricht binär ab (0,1₂), 1/10 nicht, weil 5 kein Teiler von 2 ist. Der Rechner erkennt die Periode exakt, weil er mit ganzen Zahlen (BigInt) statt mit Gleitkommazahlen rechnet.

Negative Zahlen und Zweierkomplement

Mathematisch schreibt man negative Zahlen einfach mit Minus: −255 = −FF₁₆. Prozessoren speichern sie dagegen im Zweierkomplement: Betrag binär schreiben, alle Bits invertieren, 1 addieren. −1 mit 8 Bit: 0000 0001 → 1111 1110 → 1111 1111. Mit n Bit sind −2ⁿ⁻¹ bis 2ⁿ⁻¹ − 1 darstellbar, bei 8 Bit also −128 bis 127 – 128 erzeugt einen Überlauf.

Weitere Zahlendarstellungen: römische Zahlen umrechnen, Zweierpotenzen mit dem Potenzrechner und sehr große Werte in wissenschaftlicher Schreibweise.

Häufige Fragen

Wie rechne ich eine Dezimalzahl in eine Binärzahl um?

Die Zahl immer wieder durch 2 teilen und die Reste notieren, bis 0 herauskommt. Die Reste von unten nach oben gelesen sind die Binärzahl: 13 → 6 R1, 3 R0, 1 R1, 0 R1 → 1101.

Wie rechne ich Hexadezimal in Dezimal um?

Jede Ziffer mit 16 hoch ihrer Position multiplizieren (von rechts bei 0 beginnend) und addieren. A bis F stehen für 10 bis 15: 2F₁₆ = 2 · 16 + 15 = 47.

Warum gehört eine Hex-Ziffer zu vier Binärstellen?

Weil 16 = 2⁴ ist. Deshalb kann man eine Binärzahl von rechts in 4er-Gruppen teilen und jede Gruppe einzeln übersetzen: 1111 1111 = F F = FF. Beim Oktalsystem (8 = 2³) sind es 3er-Gruppen.

Warum ist 0,1 im Binärsystem periodisch?

0,1 = 1/10, und der Nenner 10 enthält den Primfaktor 5, den die Basis 2 nicht hat. Solche Brüche brechen binär nie ab: 0,1 = 0,000110011…₂. Deshalb rechnen Computer mit 0,1 nur näherungsweise.

Was ist das Zweierkomplement?

Die übliche Speicherform negativer Ganzzahlen in Computern: Betrag binär schreiben, alle Bits umkehren und 1 addieren. So wird −1 mit 8 Bit zu 1111 1111 (= FF). Mit 8 Bit reicht der Bereich von −128 bis 127.

Welche Basen kann der Rechner?

Jede Basis von 2 bis 36. Danach gehen die Ziffern aus: 0–9 und A–Z sind zusammen 36 Zeichen. Groß- und Kleinschreibung spielt bei der Eingabe keine Rolle.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand:

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