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Bruchrechner

Zwei Brüche oder gemischte Zahlen eingeben (z. B. 1 1/2 + 3/4 = 9/4 = 2 1/4) – der Bruchrechner rechnet exakt, kürzt das Ergebnis und zeigt den kompletten Rechenweg. Dazu: Bruch kürzen und Dezimalzahl in Bruch umwandeln, auch periodisch.

Quelle: Euklid, Elemente, Buch VII, Satz 2 – größter gemeinsamer Teiler (euklidischer Algorithmus), Ausgabe D. E. Joyce, Clark University. Stand: .

z. B. 3/4, gemischt 1 1/2, ganze Zahl 5 oder Dezimalzahl 0,5
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Ergebnis

Ergebnis (gekürzt)
9/4
Als gemischte Zahl
2 1/4
Als Dezimalzahl
2,25
In Prozent
225 %
Rechenweg
  • Gemischte Zahl in unechten Bruch umwandeln: 1 1/2 = (1 · 2 + 1)/2 = 3/2
  • Hauptnenner = kgV(2, 4) = 4
  • Auf den Hauptnenner erweitern: 3/2 = 6/4 (mit 2), 3/4 = 3/4 (mit 1)
  • Zähler addieren, Nenner beibehalten: 6/4 + 3/4 = (6 + 3)/4 = 9/4
  • 9/4 ist bereits vollständig gekürzt (ggT = 1).
  • Als gemischte Zahl: 9 : 4 = 2 Rest 1 → 2 1/4
  • Als Dezimalzahl: 9 : 4 = 2,25

So wird gerechnet

So rechnet der Bruchrechner

Ein Bruch z/n besteht aus Zähler z und Nenner n (n ≠ 0). Der Rechner arbeitet mit ganzen Zahlen beliebiger Länge – es gibt keine Rundungsfehler wie beim Taschenrechner, 1/3 + 1/3 + 1/3 ergibt exakt 1.

RechenartRegelBeispiel
Addierena/b + c/d = (a·d + c·b)/(b·d), besser mit Hauptnenner1/6 + 1/10 = 5/30 + 3/30 = 8/30 = 4/15
Subtrahierena/b − c/d = (a·d − c·b)/(b·d)1/3 − 1/2 = 2/6 − 3/6 = −1/6
Multiplizierena/b · c/d = (a·c)/(b·d)2/3 · 9/4 = 18/12 = 3/2
Dividierena/b : c/d = a/b · d/c (Kehrwert)3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8

Beispiel mit gemischter Zahl: 1 1/2 + 3/4

  1. Gemischte Zahl umwandeln: 1 1/2 = (1 · 2 + 1)/2 = 3/2.
  2. Hauptnenner = kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV(2, 4) = 4.
  3. Erweitern: 3/2 = 6/4; 3/4 bleibt 3/4.
  4. Zähler addieren: 6/4 + 3/4 = 9/4 (ggT(9, 4) = 1, nicht weiter kürzbar).
  5. Gemischte Zahl: 9 : 4 = 2 Rest 1 → 2 1/4; als Dezimalzahl 2,25.

Kürzen mit dem euklidischen Algorithmus

Gekürzt wird durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner. Der Rechner bestimmt ihn nach Euklid (Elemente, Buch VII, Satz 2): Man teilt die größere Zahl mit Rest durch die kleinere und wiederholt das mit dem Rest, bis er 0 ist. Für 12/18: 18 = 1 · 12 + 6, 12 = 2 · 6 + 0 → ggT = 6, also 12/18 = 2/3. Der Hauptnenner ist kgV(a, b) = a · b / ggT(a, b).

Dezimalzahl in Bruch umwandeln – auch periodisch

Abbrechende Dezimalzahl: Nachkommastellen zählen und durch die passende Zehnerpotenz teilen, dann kürzen: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Periodische Dezimalzahl: Zähler = alle Ziffern bis zum Ende der ersten Periode minus die Ziffern vor der Periode; Nenner = so viele Neunen, wie die Periode Stellen hat, gefolgt von so vielen Nullen, wie die Vorperiode hat. Beispiel 0,1̅6̅ → 0,1(6): (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6. Ebenso 0,(3) = 3/9 = 1/3 und 0,(9) = 9/9 = 1. Im Eingabefeld schreiben Sie die Periode in Klammern oder tragen sie im Feld „Periode“ ein.

Umgekehrt zeigt der Rechner jedes Ergebnis auch als Dezimalzahl: Brüche, deren gekürzter Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat, ergeben abbrechende Dezimalzahlen (9/4 = 2,25), alle anderen periodische (1/7 = 0,142857 mit Periode 142857).

Passende Mathe-Rechner: Verhältnisse löst der Dreisatz-Rechner, Anteile in Prozent der Prozentrechner, und Brüche im Exponenten rechnet der Potenzrechner.

Mehrere Brüche in einem Ausdruck und Brüche vergleichen

Im Modus „Mehrere Brüche“ tippen Sie die ganze Aufgabe in eine Zeile: 1/2 + 3/4 − 1/3 ergibt 6/12 + 9/12 − 4/12 = 11/12. Es gilt Punkt vor Strich, Klammern sind erlaubt, negative Brüche schreiben Sie mit Minus davor. Der Rechenweg zeigt jede Teilrechnung in der Reihenfolge, in der gerechnet wird. „Brüche vergleichen“ bringt bis zu zwölf Brüche auf den gemeinsamen Nenner und ordnet sie: 3/4; 5/6; 2/3 werden zu 9/12, 10/12 und 8/12, also 2/3 < 3/4 < 5/6. Jedes Ergebnis steht zusätzlich in Prozent da – 3/4 sind 75 %.

Häufige Fragen

Wie gebe ich eine gemischte Zahl ein?

Ganze Zahl, Leerzeichen, Bruch: 1 1/2 für eineinhalb, -2 3/4 für minus zwei drei Viertel. Ganze Zahlen (5) und Dezimalzahlen (0,5) sind ebenfalls erlaubt.

Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern?

Beide Brüche auf den Hauptnenner (kgV der Nenner) erweitern, dann die Zähler addieren: 1/6 + 1/10 → Hauptnenner 30 → 5/30 + 3/30 = 8/30 = 4/15.

Was ist 1/2 + 1/3?

5/6. Der Hauptnenner von 2 und 3 ist 6: 1/2 = 3/6 und 1/3 = 2/6, zusammen 5/6. Ähnlich ergibt 3/4 − 2/3 = 9/12 − 8/12 = 1/12.

Wie teilt man durch einen Bruch?

Mit dem Kehrwert malnehmen: 3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Durch 0 kann nicht geteilt werden.

Wie kürze ich einen Bruch vollständig?

Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilen. 12/18: ggT = 6, also 2/3. Der Modus „Bruch kürzen“ zeigt die Schritte des euklidischen Algorithmus.

Wie wandle ich 0,333… in einen Bruch um?

Periode 3 hat eine Stelle, also Nenner 9: 0,(3) = 3/9 = 1/3. Im Modus „Dezimalzahl → Bruch“ 0,(3) eingeben oder 0 und im Feld Periode 3.

Warum rechnet der Bruchrechner genauer als ein Taschenrechner?

Er rechnet nur mit ganzen Zahlen (Zähler und Nenner) und kürzt exakt. Ein Taschenrechner rechnet intern mit gerundeten Dezimalzahlen – 1/3 wird dort zu 0,3333333333 und die Summe dreier Drittel manchmal zu 0,9999999999.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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