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Teorema di Bayes calcolatore

Questo teorema di Bayes calcolatore mostra quanto è davvero probabile un’ipotesi A dopo un test o un indizio B. Esempio: con prevalenza dell’1 %, sensibilità del 90 % e 9 % di falsi positivi, un risultato positivo è un vero successo solo nel 9,17 % dei casi.

Esempio: Probabilità a priori P(A) 1 % · Sensibilità P(B|A) 90 % · Tasso di falsi positivi P(B|¬A) 9 % → Probabilità di A dopo un risultato positivo: P(A|B) = 9,17%. Fonte: Wikipedia – Bayes’ theorem. Aggiornato al: .

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Quanto è frequente A senza test, ad es. prevalenza di una malattia
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Quanto spesso il test reagisce quando A è vero
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Quanto spesso il test reagisce anche se A non è vero
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Risultato

Probabilità di A dopo un risultato positivo
P(A|B) = 9,17%
Frequenza complessiva del risultato
P(B) = 9,81%: quanto spesso il risultato positivo compare in totale.
Dopo un risultato negativo
Dopo un risultato negativo, A resta possibile con 0,11% (valore predittivo negativo 99,89%).
Rapporti di verosimiglianza e odds
LR+ = 10, LR− = 0,1099; odds di A prima 0,0101, dopo 0,101.
In frequenze naturali
  • Su 10.000 casi, A vale per 100 e non vale per 9900.
  • Dei 100 con A, il test reagisce per 90 (veri positivi) e non per 10.
  • Dei 9900 senza A, il test reagisce per 891 (falsi allarmi) e non per 9009.
  • In totale il test reagisce per 981; di questi hanno davvero A: 90 su 981 = 9,17%.
Passaggi
  • P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|¬A) · P(¬A) = 0,9 · 0,01 + 0,09 · 0,99 = 0,0981
  • P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B) = 0,9 · 0,01 / 0,0981 = 0,0917
  • P(A|¬B) = P(¬B|A) · P(A) / P(¬B) = 0,1 · 0,01 / 0,9019 = 0,0011

Come si calcola

Il teorema di Bayes calcola la probabilità di un’ipotesi A dopo aver osservato un indizio B. Combina tre numeri: quanto è frequente A senza test (prevalenza), quanto bene il test riconosce A (sensibilità) e quanto spesso reagisce per errore (tasso di falsi positivi).

La formula

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B), con P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|¬A) · P(¬A). Al numeratore ci sono i veri positivi, al denominatore tutti i risultati positivi.

Esempio: una malattia rara

L’1 % delle persone ha la malattia, il test la riconosce nel 90 % dei casi e reagisce per errore nel 9 % dei sani. Su 10 000 persone, 100 sono malate e 90 di loro risultano positive. Dei 9 900 sani, 891 risultano positivi. In totale sono 981 test positivi, ma solo 90 vengono da malati: 90 / 981 = 9,17 %. Nonostante buoni valori, un risultato positivo è quindi per lo più un falso allarme, perché la malattia è molto rara.

Un errore tipico

Molti confondono P(B|A) («positivo se malato») con P(A|B) («malato se positivo»). Sono numeri diversi e la prevalenza decide quanto si distanziano. Le frequenze naturali qui sopra rendono la differenza più evidente.

Rapporto di verosimiglianza

LR+ = sensibilità / tasso di falsi positivi indica di quale fattore un risultato positivo aumenta gli odds di A. Nell’esempio LR+ = 10: gli odds salgono da 1 : 99 a 10 : 99.

Domande frequenti

Che cosa dice il teorema di Bayes?

Calcola la probabilità di A quando B è stato osservato, a partire dalla probabilità a priori di A e dai tassi di reazione di B quando A è vero e quando non lo è.

Perché un test positivo per una malattia rara è spesso un falso allarme?

Perché i sani sono molti più dei malati: anche un piccolo tasso di falsi positivi produce, tra i tanti sani, più falsi allarmi che veri positivi.

Che differenza c’è tra sensibilità e valore predittivo positivo?

La sensibilità P(B|A) è il tasso di riconoscimento tra i soggetti colpiti. Il valore predittivo positivo P(A|B) indica quanto si può essere sicuri di essere colpiti dopo un test positivo; dipende dalla prevalenza.

Che cosa significa il valore predittivo negativo?

Indica quanto si può essere sicuri di non essere colpiti dopo un risultato negativo. Per condizioni rare è di solito molto alto.

A che cosa serve il teorema di Bayes fuori dalla medicina?

Per esempio nei filtri antispam, nel controllo qualità, negli allarmi o nelle perizie: dove un indizio soggetto a errori indica una causa rara.

Fonti e riferimenti normativi

Aggiornato al: · Principi editoriali

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