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Bayes Theorem Rechner

Der Bayes Theorem Rechner zeigt, wie wahrscheinlich eine Annahme A nach einem Test oder Indiz B wirklich ist. Beispiel: Bei 1 % Grundrate, 90 % Treffsicherheit und 9 % Fehlalarmen ist ein positives Ergebnis nur in 9,17 % der Fälle ein echter Treffer.

Beispiel: Grundwahrscheinlichkeit P(A) 1 % · Sensitivität P(B|A) 90 % · Falsch-Positiv-Rate P(B|¬A) 9 % → Wahrscheinlichkeit von A nach positivem Ergebnis: P(A|B) = 9,17 %. Quelle: Wikipedia – Satz von Bayes (englisch). Stand: .

%
Wie häufig A ohne Test vorkommt, z. B. Verbreitung einer Krankheit
%
Wie oft der Test bei A anschlägt (Trefferquote)
%
Wie oft der Test anschlägt, obwohl A nicht zutrifft
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Ergebnis

Wahrscheinlichkeit von A nach positivem Ergebnis
P(A|B) = 9,17 %
Gesamtrate des Ergebnisses
P(B) = 9,81 %: So oft tritt das positive Ergebnis insgesamt auf.
Nach negativem Ergebnis
Nach einem negativen Ergebnis bleibt A mit 0,11 % möglich (negativer Vorhersagewert 99,89 %).
Likelihood-Quotienten und Quoten
LR+ = 10, LR− = 0,1099; Quote (Odds) von A vorher 0,0101, nachher 0,101.
In natürlichen Häufigkeiten
  • Von 10.000 Fällen trifft A auf 100 zu und auf 9.900 nicht zu.
  • Von den 100 mit A schlägt der Test bei 90 an (Treffer), bei 10 nicht.
  • Von den 9.900 ohne A schlägt der Test bei 891 an (Fehlalarm), bei 9.009 nicht.
  • Insgesamt schlägt der Test bei 981 an; davon haben wirklich A: 90 von 981 = 9,17 %.
Rechenweg
  • P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|¬A) · P(¬A) = 0,9 · 0,01 + 0,09 · 0,99 = 0,0981
  • P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B) = 0,9 · 0,01 / 0,0981 = 0,0917
  • P(A|¬B) = P(¬B|A) · P(A) / P(¬B) = 0,1 · 0,01 / 0,9019 = 0,0011

So wird gerechnet

Der Satz von Bayes rechnet aus, wie wahrscheinlich eine Annahme A ist, nachdem ein Indiz B beobachtet wurde. Er verbindet drei Zahlen: wie häufig A ohne Test ist (Grundrate), wie gut der Test A erkennt (Sensitivität) und wie oft er fälschlich anschlägt (Falsch-Positiv-Rate).

Die Formel

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B), wobei P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|¬A) · P(¬A). Im Zähler stehen die echten Treffer, im Nenner alle positiven Ergebnisse.

Beispiel: seltene Krankheit

1 % der Personen haben die Krankheit, der Test erkennt sie in 90 % der Fälle und schlägt bei 9 % der Gesunden fälschlich an. Von 10 000 Personen sind 100 krank, davon testen 90 positiv. Von den 9 900 Gesunden testen 891 positiv. Insgesamt sind es 981 positive Tests, aber nur 90 stammen von Kranken: 90 / 981 = 9,17 %. Ein positives Ergebnis ist also trotz guter Testwerte meist ein Fehlalarm, weil die Krankheit so selten ist.

Typischer Denkfehler

Viele verwechseln P(B|A) („Test positiv, wenn krank“) mit P(A|B) („krank, wenn Test positiv“). Beides sind verschiedene Zahlen; die Grundrate entscheidet, wie weit sie auseinanderliegen. Natürliche Häufigkeiten wie oben machen den Unterschied leichter erkennbar.

Likelihood-Quotient

LR+ = Sensitivität / Falsch-Positiv-Rate sagt, um welchen Faktor ein positives Ergebnis die Quote (Odds) von A erhöht. Im Beispiel LR+ = 10: Die Quote steigt von 1 : 99 auf 10 : 99.

Häufige Fragen

Was sagt der Satz von Bayes aus?

Er berechnet, wie wahrscheinlich A ist, wenn B beobachtet wurde, aus der Grundwahrscheinlichkeit von A und den Trefferquoten von B bei A und bei nicht A.

Warum ist ein positiver Test bei seltenen Krankheiten oft ein Fehlalarm?

Weil es viel mehr Gesunde als Kranke gibt: Selbst eine kleine Fehlalarmrate erzeugt unter den vielen Gesunden mehr falsche als echte Treffer.

Was ist der Unterschied zwischen Sensitivität und positivem Vorhersagewert?

Die Sensitivität P(B|A) ist die Trefferquote bei Betroffenen. Der positive Vorhersagewert P(A|B) sagt, wie sicher man bei positivem Test betroffen ist; er hängt von der Grundrate ab.

Was bedeutet der negative Vorhersagewert?

Er gibt an, wie sicher man bei einem negativen Ergebnis wirklich nicht betroffen ist. Bei seltenen Merkmalen ist er meist sehr hoch.

Wofür braucht man den Satz von Bayes außerhalb der Medizin?

Zum Beispiel bei Spam-Filtern, Qualitätskontrolle, Alarmanlagen oder Gerichtsgutachten – überall, wo ein Indiz mit Fehlern auf eine seltene Ursache hindeutet.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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