Calculatrice modulo
La calculatrice modulo donne le reste d'une division : 17 mod 5 = 2, car 17 = 3 · 5 + 2. Elle calcule aussi de grandes puissances mod m (par élévations au carré) et l'inverse modulaire – de façon exacte, jusqu'à 60 chiffres, avec le détail des étapes.
Source : Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
« a mod m » est le reste de la division de a par m. Comme 17 = 3 · 5 + 2, on a 17 mod 5 = 2. L'arithmétique modulaire, c'est l'arithmétique de l'horloge : après 12 heures, on repart de zéro, et 15 h correspond à 3 h parce que 15 mod 12 = 3.
Trois calculs en un
- Reste : la calculatrice affiche la division a = q · m + r. Pour les nombres négatifs, elle distingue la convention mathématique (reste toujours ≥ 0) de celle de nombreux langages de programmation.
- Puissance mod m : 413 mod 497 serait fastidieux à développer. Avec l'exponentiation rapide, chaque étape est réduite modulo m, si bien que même un exposant de 60 chiffres se calcule vite – c'est la base de RSA.
- Inverse modulaire : l'inverse de a modulo m est le nombre x tel que a · x ≡ 1 (mod m). Il n'existe que si a et m sont premiers entre eux ; l'algorithme d'Euclide étendu le trouve.
À quoi cela sert-il ?
Aux jours de la semaine (mod 7), aux clés de contrôle des IBAN et des ISBN, à la cryptographie et aux tables de hachage. Pour le plus grand diviseur commun, voir le calcul PGCD et PPCM ; le chiffrement par décalage (reste mod 26) est présenté dans l'outil chiffre de César.
Questions fréquentes
Que signifie modulo ?
a mod m est le reste de la division entière de a par m. 17 mod 5 = 2 et 20 mod 5 = 0. Deux nombres sont congrus modulo m s'ils ont le même reste.
Comment calculer un modulo à la main ?
On retranche des multiples de m jusqu'à obtenir une valeur entre 0 et m−1. Pour 100 mod 7 : 100 − 98 = 2, car 98 = 14 · 7.
Que vaut 5 mod 0 ?
Ce n'est pas défini, puisqu'on ne peut pas diviser par 0. La calculatrice signale une erreur.
Comment calculer une grande puissance modulo m ?
Par élévations successives au carré : on élève la base au carré étape par étape (toujours mod m) et on multiplie les résultats aux positions où l'exposant binaire vaut 1. Le tableau montre chaque étape.
Quand l'inverse modulaire existe-t-il ?
Exactement quand le plus grand diviseur commun de a et m vaut 1. Modulo 11, tout nombre de 1 à 10 a un inverse ; modulo 9, le nombre 6 n'en a pas.
Sources et références juridiques
- Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen)
- Wikipedia – Modular exponentiation (Square-and-multiply)
- Wikipedia – Extended Euclidean algorithm (modulares Inverses)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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