剰余計算（mod）ツール

剰余計算は、割り算の余りを求める計算です。17 mod 5 = 2（17 = 3 × 5 + 2 のため）のように求められます。このツールは、大きなべき乗の mod m（繰り返し二乗法）やモジュラ逆元も、60桁までの整数で正確に計算し、途中の手順も表示します。

計算方法

「a mod m」は、a を m で割ったときの余りです。17 = 3 × 5 + 2 なので 17 mod 5 = 2 です。剰余計算は「時計の計算」とも呼ばれ、12時間たつと数え直すので、15時は3時と同じ（15 mod 12 = 3）になります。

余り：割り算 a = q × m + r を示します。負の数では、数学上の定義（余りは常に0以上）と、多くのプログラミング言語が返す値の違いも表示します。
べき乗の mod m：4¹³ mod 497 を普通に展開するのは大変です。繰り返し二乗法では各段階で mod m をとるため、60桁の指数でもすぐに計算できます。RSA 暗号の基礎となる計算です。
モジュラ逆元：a の mod m での逆元は、a × x ≡ 1 (mod m) を満たす x です。a と m が互いに素のときだけ存在し、拡張ユークリッドの互除法で求められます。

曜日の計算（mod 7）、IBAN や ISBN のチェックディジット、暗号、ハッシュテーブルなどで使われます。最大公約数は最大公約数・最小公倍数、ずらし暗号（mod 26）はシーザー暗号で確認できます。

modとは何ですか？

a mod m は、a を m で割った余りのことです。17 mod 5 = 2、20 mod 5 = 0 です。余りが等しい2つの数は、m を法として合同といいます。

modを手計算で求めるには？

m の倍数を引き、0 以上 m−1 以下になるまで続けます。100 mod 7 なら 100 − 98 = 2 です（98 = 14 × 7）。

5 mod 0 はいくつですか？

0で割ることはできないため定義されません。このツールではエラーを表示します。

大きなべき乗の mod はどう計算しますか？

繰り返し二乗法を使います。底を順に二乗しながら（毎回 mod m）、2進数の指数が1の位置の結果を掛け合わせます。表に各段階を示します。

モジュラ逆元はいつ存在しますか？

a と m の最大公約数が1のときだけです。mod 11 では1〜10のすべての数に逆元がありますが、mod 9 では6に逆元がありません。

更新日：2026年10月2日 · 編集方針