Calcolo del modulo
Il calcolo del modulo dà il resto di una divisione: 17 mod 5 = 2, perché 17 = 3 · 5 + 2. Calcola anche grandi potenze mod m (elevando al quadrato e moltiplicando) e l'inverso modulare, in modo esatto fino a 60 cifre e mostrando ogni passaggio.
Fonte: Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen). Aggiornato al: .
Come si calcola
«a mod m» è il resto che avanza dividendo a per m. Poiché 17 = 3 · 5 + 2, 17 mod 5 = 2. L'aritmetica modulare è l'aritmetica dell'orologio: dopo 12 ore il conteggio ricomincia, e le 15 corrispondono alle 3 perché 15 mod 12 = 3.
Tre calcoli in uno strumento
- Resto: lo strumento mostra la divisione a = q · m + r. Con i numeri negativi distingue la convenzione matematica (resto sempre ≥ 0) dal valore restituito da molti linguaggi di programmazione.
- Potenza mod m: 413 mod 497 sarebbe faticoso da moltiplicare a mano. Con l'elevamento al quadrato ripetuto, ogni passaggio viene ridotto subito mod m, e anche esponenti di 60 cifre si calcolano in fretta: è la base di RSA.
- Inverso modulare: l'inverso di a modulo m è il numero x tale che a · x ≡ 1 (mod m). Esiste solo se a e m sono coprimi; l'algoritmo di Euclide esteso lo trova.
A cosa serve?
Ai giorni della settimana (mod 7), alle cifre di controllo di IBAN e ISBN, alla crittografia e alle tabelle hash. Per il massimo comune divisore c'è il calcolo di MCD e mcm; la cifratura a scorrimento (resto mod 26) è nel cifrario di Cesare.
Domande frequenti
Che cosa significa modulo?
a mod m è il resto della divisione intera di a per m. 17 mod 5 = 2 e 20 mod 5 = 0. Due numeri sono congrui modulo m se hanno lo stesso resto.
Come si calcola il modulo a mano?
Si sottraggono multipli di m finché non resta un valore tra 0 e m−1. Per 100 mod 7: 100 − 98 = 2, perché 98 = 14 · 7.
Quanto fa 5 mod 0?
Non è definito, perché non si può dividere per 0. Lo strumento segnala un errore.
Come si calcola una grande potenza mod m?
Con elevamenti al quadrato ripetuti: si eleva la base al quadrato passo dopo passo (sempre mod m) e si moltiplicano i risultati dove l'esponente binario ha un 1. La tabella mostra ogni passaggio.
Quando esiste l'inverso modulare?
Esattamente quando il massimo comune divisore di a e m è 1. Modulo 11 ogni numero da 1 a 10 ha un inverso; modulo 9 il 6 non ce l'ha.
Fonti e riferimenti normativi
- Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen)
- Wikipedia – Modular exponentiation (Square-and-multiply)
- Wikipedia – Extended Euclidean algorithm (modulares Inverses)
Aggiornato al: · Principi editoriali
Strumenti correlati
- Calcolo di MCD e mcmCalcolo di MCD e mcm di due o più numeri: massimo comune divisore, minimo comune multiplo, scomposizione in fattori primi, algoritmo di Euclide e divisori.
- Numeri primi – elenco, verifica e calcoloNumeri primi: elenca tutti i primi fino a 10 milioni, verifica se un numero è primo o trova l’n-esimo primo, con gemelli, intervalli e passaggi del calcolo.
- Cifrario di CesareCifrario di Cesare online: cifra e decifra un testo con qualsiasi spostamento, usa il ROT13 o prova i 25 spostamenti per leggere un messaggio senza chiave.
- Divisione in colonnaDivisione e moltiplicazione in colonna passo per passo: quoziente, resto e prova, con decimali se vuoi – per esercitarsi e controllare i compiti.
- Calcolatrice onlineCalcolatrice online gratis: digita o tocca e hai subito il risultato. Percentuale, radice quadrata, parentesi, precedenza delle operazioni e cronologia.
- Calcolare un romboCalcolare un rombo da lato e angolo, diagonali, lato e diagonale o area: perimetro, area, altezza, angoli e passaggi del calcolo, senza registrazione.
- Calcolo sviluppo lamiera: tolleranza di piega, deduzione e lunghezzaCalcolo sviluppo lamiera piegata con fattore K: tolleranza di piega, arretramento esterno, deduzione di piega e lunghezza sviluppata da quote esterne o interne.
- Calcolatore della distribuzione geometricaDistribuzione geometrica per il numero di prove fino al primo successo: P(X = k), P(X ≤ k), valore atteso e varianza, con il calcolo passo dopo passo.
- Numero felice: verificaNumero felice o infelice? Ogni passaggio della somma dei quadrati delle cifre fino a 1 o al ciclo 4 → 16 → … → 4, numeri primi felici ed elenco fino a N.