Kalkulator modulo
Kalkulator modulo podaje resztę z dzielenia: 17 mod 5 = 2, bo 17 = 3 · 5 + 2. Oblicza też duże potęgi mod m (przez kolejne podnoszenie do kwadratu) oraz odwrotność modularną – dokładnie, nawet dla liczb do 60 cyfr, z pokazaniem kolejnych kroków.
Źródło: Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen). Stan na: .
Jak to obliczamy
„a mod m” to reszta, która zostaje po podzieleniu a przez m. Skoro 17 = 3 · 5 + 2, to 17 mod 5 = 2. Arytmetyka modularna to arytmetyka zegara: po 12 godzinach liczenie zaczyna się od nowa, a godzina 15 odpowiada 3, bo 15 mod 12 = 3.
Trzy obliczenia w jednym narzędziu
- Reszta: kalkulator pokazuje dzielenie a = q · m + r. Przy liczbach ujemnych odróżnia konwencję matematyczną (reszta zawsze ≥ 0) od wartości zwracanej przez wiele języków programowania.
- Potęga mod m: 413 mod 497 byłoby żmudne do wymnożenia. Przy podnoszeniu do kwadratu każdy krok jest od razu redukowany mod m, więc nawet wykładniki o 60 cyfrach liczą się szybko – to podstawa RSA.
- Odwrotność modularna: odwrotność a modulo m to liczba x, dla której a · x ≡ 1 (mod m). Istnieje tylko wtedy, gdy a i m są względnie pierwsze; znajduje ją rozszerzony algorytm Euklidesa.
Do czego się to przydaje?
Do dni tygodnia (mod 7), cyfr kontrolnych IBAN i ISBN, kryptografii i tablic mieszających. Największy wspólny dzielnik znajdziesz w kalkulatorze NWD i NWW; szyfr przesuwający (reszta mod 26) pokazuje szyfr Cezara.
Najczęściej zadawane pytania
Co oznacza modulo?
a mod m to reszta z dzielenia całkowitego a przez m. 17 mod 5 = 2, a 20 mod 5 = 0. Dwie liczby są przystające modulo m, jeśli dają tę samą resztę.
Jak obliczyć modulo ręcznie?
Odejmuj wielokrotności m, aż zostanie wartość między 0 a m−1. Dla 100 mod 7: 100 − 98 = 2, bo 98 = 14 · 7.
Ile to jest 5 mod 0?
To nie jest określone, bo nie wolno dzielić przez 0. Kalkulator zgłasza błąd.
Jak obliczyć dużą potęgę mod m?
Przez kolejne podnoszenie do kwadratu: podstawę podnosi się do kwadratu krok po kroku (zawsze mod m) i mnoży wyniki tam, gdzie wykładnik zapisany binarnie ma 1. Tabela pokazuje każdy krok.
Kiedy istnieje odwrotność modularna?
Dokładnie wtedy, gdy największy wspólny dzielnik a i m wynosi 1. Modulo 11 każda liczba od 1 do 10 ma odwrotność; modulo 9 liczba 6 jej nie ma.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen)
- Wikipedia – Modular exponentiation (Square-and-multiply)
- Wikipedia – Extended Euclidean algorithm (modulares Inverses)
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Kalkulator NWD i NWWKalkulator NWD i NWW dla dwóch lub więcej liczb: największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność, rozkład na czynniki i algorytm Euklidesa.
- Liczby pierwsze – lista, test i obliczeniaLiczby pierwsze: wypisz wszystkie do 10 milionów, sprawdź, czy liczba jest pierwsza, albo znajdź n-tą liczbę pierwszą – z bliźniaczymi, lukami i obliczeniami.
- Szyfr CezaraSzyfr Cezara online: zaszyfruj i odszyfruj tekst z dowolnym przesunięciem, użyj ROT13 albo sprawdź wszystkie 25 przesunięć, by odczytać wiadomość bez klucza.
- Dzielenie pisemneDzielenie pisemne i mnożenie pisemne krok po kroku: iloraz, reszta i sprawdzenie, w razie potrzeby z miejscami po przecinku – do nauki i sprawdzania lekcji.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Przedziały liczbowe – kalkulatorPrzedziały liczbowe online: wpisz nierówność, np. x ≥ 3, albo przedział, np. [3, ∞), i odczytaj przedział, nierówność, zapis zbioru i długość.
- Współczynnik obciążenia demograficznegoWspółczynnik obciążenia demograficznego: ludność w wieku nieprodukcyjnym na 100 osób w wieku produkcyjnym, wskaźniki GUS i Eurostatu, wzór i przykłady.
- Wzór empiryczny i wzór rzeczywisty – kalkulatorWzór empiryczny z procentów masowych lub gramów każdego pierwiastka, krok po kroku, a z masą molową także wzór rzeczywisty (sumaryczny) związku.
- Najmniejszy wspólny mianownik kalkulatorNajmniejszy wspólny mianownik kalkulator dla dwóch lub więcej ułamków: NWW mianowników, ułamki po sprowadzeniu i ich suma z opisem każdego kroku obliczeń.