Calculadora de módulo
A calculadora de módulo dá o resto de uma divisão: 17 mod 5 = 2, porque 17 = 3 · 5 + 2. Ela também calcula grandes potências mod m (elevando ao quadrado e multiplicando) e o inverso modular, com exatidão até 60 dígitos e mostrando cada etapa.
Fonte: Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen). Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
“a mod m” é o resto que sobra ao dividir a por m. Como 17 = 3 · 5 + 2, 17 mod 5 = 2. A aritmética modular é a aritmética do relógio: depois de 12 horas a contagem recomeça, e 15h equivalem a 3h porque 15 mod 12 = 3.
Três cálculos em uma só ferramenta
- Resto: a calculadora mostra a divisão a = q · m + r. Com números negativos, distingue a convenção matemática (resto sempre ≥ 0) do valor que muitas linguagens de programação devolvem.
- Potência mod m: 413 mod 497 seria trabalhoso de multiplicar à mão. Com o método de elevar ao quadrado, cada etapa é reduzida na hora mod m, e até expoentes de 60 dígitos saem rápido – é a base do RSA.
- Inverso modular: o inverso de a módulo m é o número x com a · x ≡ 1 (mod m). Só existe se a e m forem primos entre si; o algoritmo de Euclides estendido o encontra.
Para que serve?
Para dias da semana (mod 7), dígitos verificadores de IBAN e ISBN, criptografia e tabelas hash. Para o máximo divisor comum há a calculadora de MMC e MDC; a cifra por deslocamento (resto mod 26) aparece na cifra de César.
Perguntas frequentes
O que significa módulo?
a mod m é o resto da divisão inteira de a por m. 17 mod 5 = 2 e 20 mod 5 = 0. Dois números são congruentes módulo m quando deixam o mesmo resto.
Como calcular o módulo à mão?
Subtraia múltiplos de m até sobrar um valor entre 0 e m−1. Para 100 mod 7: 100 − 98 = 2, porque 98 = 14 · 7.
Quanto é 5 mod 0?
Não é definido, pois não se pode dividir por 0. A calculadora mostra um erro.
Como calcular uma potência grande mod m?
Elevando ao quadrado repetidamente: a base é elevada ao quadrado passo a passo (sempre mod m) e multiplicam-se os resultados onde o expoente binário tem 1. A tabela mostra cada etapa.
Quando existe o inverso modular?
Exatamente quando o máximo divisor comum de a e m é 1. Módulo 11, todo número de 1 a 10 tem inverso; módulo 9, o 6 não tem.
Fontes e base legal
- Wikipedia – Modulo (Rest, Vorzeichenkonventionen)
- Wikipedia – Modular exponentiation (Square-and-multiply)
- Wikipedia – Extended Euclidean algorithm (modulares Inverses)
Última atualização: · Princípios editoriais
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