Calculadora de matrizes
Esta calculadora de matrizes encontra o determinante, a inversa, a transposta, o posto, o traço, a soma, o produto e a potência de matrizes até 8×8. Os resultados saem em frações exatas, com as etapas do escalonamento de Gauss.
Fonte: Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
Uma matriz é uma tabela retangular de números; ela descreve sistemas de equações lineares, rotações e muito mais. A ferramenta trabalha com frações exatas, então não há erros de arredondamento – por exemplo, na inversa.
O que ela calcula
- Determinante: mostra se uma matriz quadrada é invertível (det ≠ 0). É calculado por escalonamento de Gauss; cada troca de linhas inverte o sinal.
- Inversa: a matriz A⁻¹ com A · A⁻¹ = I, obtida por Gauss-Jordan e conferida automaticamente.
- Posto: o número de linhas linearmente independentes, lido na forma escalonada.
- Produto: o elemento (i, j) é a linha i de A vezes a coluna j de B, então A precisa ter tantas colunas quanto B tem linhas. Diferente dos números, em geral A · B ≠ B · A.
- Potência: Aⁿ por multiplicação repetida; A⁰ é a matriz identidade.
Entrada
Uma linha de texto por linha da matriz, com valores separados por espaços. Ponto e vírgula também funciona como quebra de linha: “1 2; 3 4”. São aceitos inteiros, decimais com vírgula ou ponto e frações como 3/4.
Para resolver um sistema de equações, use a calculadora de sistemas de equações; a calculadora de frações simplifica frações e a calculadora ajuda em contas soltas.
Forma escalonada reduzida, decomposição LU e autovalores
- Forma escalonada reduzida: método de Gauss-Jordan, com cada operação de linha no passo a passo. “1 2 3; 4 5 6; 7 8 9” vira “1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0”, e o posto é 2.
- Decomposição LU: P · A = L · U, com L triangular inferior (uns na diagonal) e U triangular superior. As linhas só são trocadas quando um pivô é 0.
- Autovalores: as raízes racionais do polinômio característico det(λI − A) são encontradas de forma exata, e um fator quadrático restante, exato com raiz quadrada. Para “2 1; 1 2” resultam λ = 1 e λ = 3, com autovetores (-1; 1) e (1; 1). O restante é aproximado e marcado com ≈.
- Adjunta: a transposta da matriz dos cofatores; A · adj(A) = det(A) · I.
Você pode colar uma matriz direto de uma planilha (tabulações entre as células). Notações como [[1, 2], [3, 4]] ou [1 2; 3 4] também são lidas.
Perguntas frequentes
Como calcular o determinante de uma matriz 3×3?
Leve a matriz à forma triangular por escalonamento de Gauss e multiplique a diagonal, ou use a regra de Sarrus. A ferramenta mostra as operações passo a passo.
Quando uma matriz não tem inversa?
Quando o determinante é 0. Aí as linhas são dependentes (posto menor que o número de linhas) e o sistema não tem solução única.
Como multiplicar duas matrizes?
Cada elemento do produto é a soma dos produtos de uma linha de A por uma coluna de B. O número de colunas de A deve ser igual ao de linhas de B.
O que significa o posto de uma matriz?
Indica quantas linhas (ou colunas) são linearmente independentes – quantas linhas continuam não nulas depois do escalonamento de Gauss.
Por que a ferramenta mostra frações e não decimais?
Frações são exatas: 1/3 continua 1/3 em vez de 0,333…. Se preferir decimais, troque o formato.
Como calcular os autovalores de uma matriz?
São as raízes do polinômio característico det(λI − A). Para “2 1; 1 2” ele é λ² − 4λ + 3, então os autovalores são 1 e 3. A calculadora mostra o polinômio e os autovetores.
Fontes e base legal
- Wolfram MathWorld – Gaussian elimination
- Wolfram MathWorld – Determinant
- Wolfram MathWorld – Matrix inverse
- Wolfram MathWorld – Eigenvalue
- Wolfram MathWorld – LU decomposition
Última atualização: · Princípios editoriais
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