Kalkulator matriks
Kalkulator matriks ini menghitung determinan, invers, transpos, rank, trace, jumlah, hasil kali, dan pangkat matriks hingga 8×8. Hasilnya berupa pecahan eksak, lengkap dengan langkah eliminasi Gauss.
Sumber: Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Diperbarui: .
Cara menghitung
Matriks adalah tabel angka berbentuk persegi panjang; dengannya kita menyatakan sistem persamaan linear, rotasi, dan banyak hal lain. Alat ini menghitung dengan pecahan eksak sehingga tidak ada galat pembulatan – misalnya pada invers.
Apa yang dihitung
- Determinan: menunjukkan apakah matriks persegi punya invers (det ≠ 0). Dihitung dengan eliminasi Gauss; setiap pertukaran baris membalik tanda.
- Invers: matriks A⁻¹ dengan A · A⁻¹ = I, dicari dengan metode Gauss-Jordan dan diperiksa otomatis.
- Rank: banyaknya baris yang bebas linear, dibaca dari bentuk eselon.
- Hasil kali: elemen (i, j) adalah baris i matriks A kali kolom j matriks B, sehingga kolom A harus sebanyak baris B. Berbeda dari bilangan, umumnya A · B ≠ B · A.
- Pangkat: Aⁿ lewat perkalian berulang; A⁰ adalah matriks identitas.
Cara memasukkan data
Tulis satu baris teks untuk setiap baris matriks dengan nilai dipisah spasi. Titik koma juga bisa jadi pemisah baris: “1 2; 3 4”. Bilangan bulat, desimal dengan koma atau titik, dan pecahan seperti 3/4 diterima.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan ada kalkulator sistem persamaan; pecahan disederhanakan oleh kalkulator pecahan, dan langkah tunggal terbantu kalkulator.
Bentuk eselon baris tereduksi, dekomposisi LU, dan nilai eigen
- Bentuk eselon baris tereduksi (RREF): eliminasi Gauss-Jordan, setiap operasi baris ditampilkan pada langkah. “1 2 3; 4 5 6; 7 8 9” menjadi “1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0”, rank-nya 2.
- Dekomposisi LU: P · A = L · U dengan L segitiga bawah (angka 1 pada diagonal) dan U segitiga atas. Baris hanya ditukar bila pivot bernilai 0.
- Nilai eigen: akar rasional polinomial karakteristik det(λI − A) dicari secara tepat, faktor kuadrat yang tersisa diselesaikan tepat dengan akar kuadrat. Untuk “2 1; 1 2” diperoleh λ = 1 dan λ = 3 dengan vektor eigen (-1; 1) dan (1; 1). Sisanya dihampiri dan ditandai ≈.
- Adjoin: transpos matriks kofaktor; A · adj(A) = det(A) · I.
Matriks dapat ditempel langsung dari lembar kerja (tab di antara sel). Penulisan seperti [[1, 2], [3, 4]] atau [1 2; 3 4] juga dibaca.
Pertanyaan umum
Bagaimana menghitung determinan matriks 3×3?
Ubah ke bentuk segitiga dengan eliminasi Gauss lalu kalikan diagonalnya, atau pakai aturan Sarrus. Alat ini menampilkan operasi baris langkah demi langkah.
Kapan matriks tidak punya invers?
Ketika determinannya 0. Baris-barisnya saling bergantung (rank lebih kecil dari jumlah baris) dan sistem persamaan tidak punya solusi tunggal.
Bagaimana mengalikan dua matriks?
Setiap elemen hasil kali adalah jumlah hasil kali satu baris A dengan satu kolom B. Jumlah kolom A harus sama dengan jumlah baris B.
Apa arti rank matriks?
Rank menunjukkan banyaknya baris (atau kolom) yang bebas linear – berapa baris yang tetap tak nol setelah eliminasi Gauss.
Mengapa alat ini menampilkan pecahan, bukan desimal?
Pecahan itu eksak: 1/3 tetap 1/3, bukan 0,333…. Jika lebih suka desimal, ubah tampilannya.
Bagaimana cara menghitung nilai eigen matriks?
Nilai eigen adalah akar polinomial karakteristik det(λI − A). Untuk “2 1; 1 2” polinomialnya λ² − 4λ + 3, jadi nilai eigennya 1 dan 3. Kalkulator menampilkan polinomial dan vektor eigennya.
Sumber dan dasar hukum
- Wolfram MathWorld – Gaussian elimination
- Wolfram MathWorld – Determinant
- Wolfram MathWorld – Matrix inverse
- Wolfram MathWorld – Eigenvalue
- Wolfram MathWorld – LU decomposition
Diperbarui: · Kebijakan editorial
Alat terkait
- Kalkulator sistem persamaan linearKalkulator sistem persamaan linear 2 sampai 6 variabel (SPLDV, SPLTV): hasil pecahan tepat, eliminasi Gauss langkah demi langkah, determinan, dan uji hasil.
- Kalkulator pecahanKalkulator pecahan dengan cara: jumlahkan, kurangi, kalikan, bagi pecahan dan pecahan campuran, atau ketik ekspresi. Sederhanakan, bandingkan, ubah ke persen.
- Kalkulator onlineKalkulator online gratis: ketik atau tekan, hasil langsung muncul – dengan urutan operasi, kurung, persen, akar, langkah perhitungan, dan riwayat.
- Kalkulator persamaan kuadratKalkulator persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan rumus ABC: akar-akar, diskriminan, bentuk eksak, titik puncak, faktorisasi, dan akar imajiner.
- Tabel Periodik Unsur Kimia InteraktifTabel periodik unsur kimia lengkap: 118 unsur dengan massa atom, konfigurasi elektron, titik leleh dan didih. Cari, geser suhu, ubah warna, cetak PDF.
- Kalkulator CollatzKalkulator Collatz: jumlah langkah hingga 1, nilai tertinggi, langkah genap dan ganjil, seluruh barisan, dan bilangan awal rekor sampai batas tertentu.
- Nilai harapanNilai harapan variabel acak diskret: E(X), varians, dan simpangan baku lengkap dengan langkah hitungnya, juga dengan pecahan dan persen.
- Menghitung persentase kehadiran siswaHitung persentase kehadiran siswa atau mahasiswa: isi jumlah pertemuan dan kehadiran, lihat persentasenya dan berapa kali lagi boleh absen atau wajib hadir.
- Rumus induktansiRumus induktansi kumparan udara, solenoida panjang, toroid, dan inti dengan nilai AL: L dari jumlah lilitan dan ukuran, atau lilitan untuk induktansi tertentu.