Kalkulator macierzy
Ten kalkulator macierzy oblicza wyznacznik, macierz odwrotną, transponowaną, rząd, ślad, sumę, iloczyn i potęgę macierzy do 8×8. Wyniki są dokładnymi ułamkami, a kroki eliminacji Gaussa są pokazane.
Źródło: Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Stan na: .
Jak to obliczamy
Macierz to prostokątna tablica liczb; opisuje układy równań liniowych, obroty i wiele innych rzeczy. Narzędzie liczy na dokładnych ułamkach, więc nie ma błędów zaokrągleń – na przykład przy macierzy odwrotnej.
Co oblicza narzędzie
- Wyznacznik: pokazuje, czy macierz kwadratowa jest odwracalna (det ≠ 0). Liczony metodą eliminacji Gaussa; każda zamiana wierszy zmienia znak.
- Macierz odwrotna: macierz A⁻¹ taka, że A · A⁻¹ = I, wyznaczona metodą Gaussa-Jordana i automatycznie sprawdzona.
- Rząd: liczba liniowo niezależnych wierszy, odczytana z postaci schodkowej.
- Iloczyn: element (i, j) to wiersz i macierzy A razy kolumna j macierzy B, więc A musi mieć tyle kolumn, ile wierszy ma B. W odróżnieniu od liczb zwykle A · B ≠ B · A.
- Potęga: Aⁿ przez wielokrotne mnożenie; A⁰ to macierz jednostkowa.
Wpisywanie danych
Jedna linia tekstu na wiersz macierzy, wartości oddzielone spacjami. Jako koniec wiersza działa też średnik: „1 2; 3 4”. Dozwolone są liczby całkowite, dziesiętne z przecinkiem lub kropką oraz ułamki typu 3/4.
Do rozwiązywania układów równań służy kalkulator układów równań, ułamki skraca kalkulator ułamków, a pojedyncze działania ułatwia kalkulator.
Postać schodkowa zredukowana, rozkład LU i wartości własne
- Postać schodkowa zredukowana: metoda Gaussa-Jordana, każda operacja na wierszach jest w rozwiązaniu. „1 2 3; 4 5 6; 7 8 9” przechodzi w „1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0”, rząd wynosi 2.
- Rozkład LU: P · A = L · U z macierzą trójkątną dolną L (jedynki na przekątnej) i trójkątną górną U. Wiersze są zamieniane tylko wtedy, gdy element główny jest równy 0.
- Wartości własne: wymierne pierwiastki wielomianu charakterystycznego det(λI − A) są wyznaczane dokładnie, pozostały czynnik kwadratowy dokładnie z pierwiastkiem. Dla „2 1; 1 2” wychodzi λ = 1 i λ = 3 z wektorami własnymi (-1; 1) i (1; 1). Reszta jest przybliżana i oznaczana ≈.
- Macierz dołączona: transponowana macierz dopełnień; A · adj(A) = det(A) · I.
Macierz można wkleić prosto z arkusza kalkulacyjnego (tabulatory między komórkami). Czytane są też zapisy [[1, 2], [3, 4]] oraz [1 2; 3 4].
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć wyznacznik macierzy 3×3?
Sprowadzić ją metodą Gaussa do postaci trójkątnej i pomnożyć elementy przekątnej albo użyć reguły Sarrusa. Narzędzie pokazuje kolejne przekształcenia.
Kiedy macierz nie ma macierzy odwrotnej?
Gdy jej wyznacznik wynosi 0. Wtedy wiersze są zależne (rząd mniejszy niż liczba wierszy), a układ równań nie ma jednego rozwiązania.
Jak mnoży się dwie macierze?
Każdy element iloczynu to suma iloczynów wiersza macierzy A i kolumny macierzy B. Liczba kolumn A musi równać się liczbie wierszy B.
Co oznacza rząd macierzy?
To liczba liniowo niezależnych wierszy (lub kolumn) – tyle wierszy pozostaje niezerowych po eliminacji Gaussa.
Dlaczego narzędzie pokazuje ułamki zamiast liczb dziesiętnych?
Ułamki są dokładne: 1/3 zostaje 1/3, a nie 0,333…. Jeśli wolisz liczby dziesiętne, zmień zapis.
Jak obliczyć wartości własne macierzy?
To pierwiastki wielomianu charakterystycznego det(λI − A). Dla „2 1; 1 2” jest to λ² − 4λ + 3, więc wartości własne to 1 i 3. Kalkulator pokazuje wielomian i wektory własne.
Źródła i podstawa prawna
- Wolfram MathWorld – Gaussian elimination
- Wolfram MathWorld – Determinant
- Wolfram MathWorld – Matrix inverse
- Wolfram MathWorld – Eigenvalue
- Wolfram MathWorld – LU decomposition
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Układ równań – kalkulatorUkład równań liniowych – kalkulator dla 2 do 6 niewiadomych: dokładny wynik w ułamkach, metoda Gaussa krok po kroku, wyznacznik i sprawdzenie.
- Kalkulator ułamkówKalkulator ułamków z objaśnieniem: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, także całe wyrażenia z nawiasami. Skracanie, porównywanie, zamiana na procenty.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Równanie kwadratowe – kalkulatorRozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki, dokładna postać, wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i rozwiązania zespolone.
- Interaktywny układ okresowy pierwiastkówUkład okresowy pierwiastków: 118 pierwiastków z masą atomową, konfiguracją elektronową, temperaturą topnienia i wrzenia. Szukaj, suwak temperatury, druk PDF.
- Stopień utlenienia: kalkulator z regułamiStopień utlenienia każdego pierwiastka ze wzoru sumarycznego: wpisz KMnO4 albo SO4 z ładunkiem −2 i zobacz wynik dla wszystkich atomów oraz użytą regułę.
- Kalkulator punktów do liceumKalkulator punktów do liceum: wpisz wyniki egzaminu ósmoklasisty i oceny ze świadectwa, a zobaczysz sumę punktów rekrutacyjnych na 200 z rozbiciem na składniki.
- Kalkulator stopni swobodyStopnie swobody dla testu t (jedna i dwie próby, Welch), testu chi-kwadrat i ANOVA, ze wzorem, obliczeniami krok po kroku i przykładami.
- Rozkład hipergeometryczny – kalkulatorRozkład hipergeometryczny kalkulator dla losowania bez zwracania: P(X = k), P(X ≤ k) i P(X ≥ k), wartość oczekiwana oraz wariancja z obliczeniami krok po kroku.