Calculadora de matrices
Esta calculadora de matrices obtiene el determinante, la inversa, la transpuesta, el rango, la traza, la suma, el producto y la potencia de matrices hasta 8×8. Los resultados son fracciones exactas, con los pasos del método de Gauss.
Fuente: Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Actualizado: .
Cómo se calcula
Una matriz es una tabla rectangular de números; sirve para describir sistemas de ecuaciones lineales, giros y mucho más. La herramienta trabaja con fracciones exactas, así que no hay errores de redondeo, por ejemplo en la inversa.
Qué calcula
- Determinante: indica si una matriz cuadrada es invertible (det ≠ 0). Se calcula con eliminación de Gauss; cada intercambio de filas cambia el signo.
- Inversa: la matriz A⁻¹ con A · A⁻¹ = I, obtenida por Gauss-Jordan y comprobada automáticamente.
- Rango: el número de filas linealmente independientes, que se lee en la forma escalonada.
- Producto: el elemento (i, j) es la fila i de A por la columna j de B, así que A necesita tantas columnas como filas tiene B. A diferencia de los números, en general A · B ≠ B · A.
- Potencia: Aⁿ por multiplicación repetida; A⁰ es la matriz identidad.
Entrada
Una línea de texto por fila de la matriz, con los valores separados por espacios. También sirve el punto y coma como salto de fila: «1 2; 3 4». Se admiten enteros, decimales con coma o punto y fracciones como 3/4.
Para resolver un sistema de ecuaciones, usa la calculadora de sistemas de ecuaciones; la calculadora de fracciones simplifica fracciones y la calculadora ayuda con pasos sueltos.
Forma escalonada reducida, factorización LU y valores propios
- Forma escalonada reducida: método de Gauss-Jordan con cada operación de fila en los pasos. «1 2 3; 4 5 6; 7 8 9» pasa a «1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0», el rango es 2.
- Factorización LU: P · A = L · U con L triangular inferior (unos en la diagonal) y U triangular superior. Solo se intercambian filas si un pivote es 0.
- Valores propios: las raíces racionales del polinomio característico det(λI − A) se hallan de forma exacta, y un factor cuadrático restante, exacto con raíz cuadrada. Para «2 1; 1 2» resultan λ = 1 y λ = 3, con vectores propios (-1; 1) y (1; 1). Lo demás se aproxima y se marca con ≈.
- Adjunta: la traspuesta de la matriz de cofactores; A · adj(A) = det(A) · I.
Puede pegar una matriz desde una hoja de cálculo (tabuladores entre celdas). También se leen notaciones como [[1, 2], [3, 4]] o [1 2; 3 4].
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 3×3?
Se lleva a forma triangular con eliminación de Gauss y se multiplica la diagonal, o se aplica la regla de Sarrus. La herramienta muestra las operaciones paso a paso.
¿Cuándo una matriz no tiene inversa?
Cuando su determinante es 0. Entonces las filas son dependientes (rango menor que el número de filas) y el sistema no tiene solución única.
¿Cómo se multiplican dos matrices?
Cada elemento del producto es la suma de los productos de una fila de A por una columna de B. El número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B.
¿Qué significa el rango de una matriz?
Indica cuántas filas (o columnas) son linealmente independientes, es decir, cuántas filas quedan distintas de cero tras la eliminación de Gauss.
¿Por qué la herramienta muestra fracciones y no decimales?
Las fracciones son exactas: 1/3 sigue siendo 1/3 y no 0,333…. Si prefieres decimales, cambia el formato.
¿Cómo se calculan los valores propios de una matriz?
Son las raíces del polinomio característico det(λI − A). Para «2 1; 1 2» es λ² − 4λ + 3, así que los valores propios son 1 y 3. La calculadora muestra el polinomio y los vectores propios.
Fuentes y base legal
- Wolfram MathWorld – Gaussian elimination
- Wolfram MathWorld – Determinant
- Wolfram MathWorld – Matrix inverse
- Wolfram MathWorld – Eigenvalue
- Wolfram MathWorld – LU decomposition
Última actualización: · Principios editoriales
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