Matrizen-Rechner
Der Matrizen-Rechner berechnet Determinante, Inverse, Transponierte, Rang, Spur, Summe, Produkt und Potenz von Matrizen bis 8×8. Das Ergebnis erscheint exakt als Bruch, dazu der Rechenweg nach dem Gauß-Verfahren.
Quelle: Wolfram MathWorld – Gaußsches Eliminationsverfahren (englisch: Gaussian Elimination). Stand: .
So wird gerechnet
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema; mit ihr lassen sich lineare Gleichungssysteme, Drehungen und vieles mehr beschreiben. Das Tool rechnet mit exakten Brüchen, sodass keine Rundungsfehler entstehen – etwa bei der Inversen.
Was das Tool berechnet
- Determinante: Sie zeigt, ob eine quadratische Matrix umkehrbar ist (det ≠ 0). Berechnet wird sie mit dem Gauß-Verfahren; jede Zeilenvertauschung wechselt das Vorzeichen.
- Inverse: Die Matrix A⁻¹ mit A · A⁻¹ = E, per Gauß-Jordan-Verfahren, samt Probe.
- Rang: die Zahl der linear unabhängigen Zeilen, abgelesen an der Stufenform.
- Produkt: Eintrag (i, j) ist Zeile i von A mal Spalte j von B; dafür braucht A so viele Spalten wie B Zeilen hat. Anders als bei Zahlen gilt A · B ≠ B · A.
- Potenz: Aⁿ durch wiederholtes Multiplizieren; A⁰ ist die Einheitsmatrix.
Eingabe
Je Zeile der Matrix eine Textzeile, die Werte durch Leerzeichen getrennt. Statt eines Zeilenumbruchs genügt auch ein Semikolon: „1 2; 3 4“. Zulässig sind ganze Zahlen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt und Brüche wie 3/4.
Wer ein Gleichungssystem lösen will, findet es im Gleichungssystem-Rechner; Brüche kürzt der Bruchrechner, und für einzelne Rechenschritte hilft der Taschenrechner.
Stufenform, LU-Zerlegung und Eigenwerte
- Reduzierte Zeilenstufenform (RREF): Gauß-Jordan-Verfahren, jede Zeilenumformung steht im Rechenweg. Aus „1 2 3; 4 5 6; 7 8 9“ wird „1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0“, der Rang ist 2.
- LU-Zerlegung: P · A = L · U mit unterer Dreiecksmatrix L (Einsen auf der Diagonale) und oberer Dreiecksmatrix U. Zeilen werden nur getauscht, wenn ein Pivot 0 ist.
- Eigenwerte: Aus dem charakteristischen Polynom det(λE − A) werden rationale Nullstellen exakt bestimmt, ein quadratischer Rest exakt mit Wurzel. Für „2 1; 1 2“ ergibt sich λ = 1 und λ = 3 mit den Eigenvektoren (-1; 1) und (1; 1). Was sich nicht exakt lösen lässt, wird genähert und mit ≈ gekennzeichnet.
- Adjunkte: die transponierte Kofaktormatrix; es gilt A · adj(A) = det(A) · E.
Matrizen lassen sich direkt aus einer Tabellenkalkulation einfügen (Tabulator zwischen den Zellen). Auch Schreibweisen wie [[1, 2], [3, 4]] oder [1 2; 3 4] werden gelesen.
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Determinante einer 3×3-Matrix?
Mit dem Gauß-Verfahren auf Dreiecksform bringen und die Diagonale multiplizieren, oder per Regel von Sarrus. Das Tool zeigt die Umformungen Schritt für Schritt.
Wann hat eine Matrix keine Inverse?
Wenn ihre Determinante 0 ist. Dann sind Zeilen voneinander abhängig (Rang kleiner als die Zeilenzahl) und das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar.
Wie multipliziert man zwei Matrizen?
Jeder Eintrag des Produkts ist die Summe der Produkte aus einer Zeile von A und einer Spalte von B. Die Spaltenzahl von A muss der Zeilenzahl von B entsprechen.
Was bedeutet der Rang einer Matrix?
Er gibt an, wie viele Zeilen (oder Spalten) linear unabhängig sind – also wie viele Zeilen nach dem Gauß-Verfahren nicht null werden.
Warum zeigt das Tool Brüche statt Dezimalzahlen?
Brüche sind exakt: 1/3 bleibt 1/3 statt 0,333…. Wer lieber Dezimalzahlen sieht, schaltet die Darstellung um.
Wie berechne ich die Eigenwerte einer Matrix?
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(λE − A). Für „2 1; 1 2“ lautet es λ² − 4λ + 3, die Eigenwerte sind 1 und 3. Der Rechner zeigt das Polynom und gibt die Eigenvektoren an.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wolfram MathWorld – Gaußsches Eliminationsverfahren (englisch: Gaussian Elimination)
- Wolfram MathWorld – Determinante (englisch: Determinant)
- Wolfram MathWorld – Inverse Matrix (englisch: Matrix Inverse)
- Wolfram MathWorld – Eigenwert (englisch: Eigenvalue)
- Wolfram MathWorld – LU-Zerlegung (englisch: LU Decomposition)
Stand: · So prüfen wir
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