Calcolatrice di matrici
Questa calcolatrice matrici calcola determinante, inversa, trasposta, rango, traccia, somma, prodotto e potenza di matrici fino a 8×8. I risultati sono frazioni esatte, con i passaggi dell’eliminazione di Gauss.
Fonte: Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Aggiornato al: .
Come si calcola
Una matrice è una tabella rettangolare di numeri; serve a descrivere sistemi di equazioni lineari, rotazioni e molto altro. Lo strumento lavora con frazioni esatte, quindi niente errori di arrotondamento – per esempio nell’inversa.
Che cosa calcola
- Determinante: indica se una matrice quadrata è invertibile (det ≠ 0). Si calcola con l’eliminazione di Gauss; ogni scambio di righe cambia il segno.
- Inversa: la matrice A⁻¹ con A · A⁻¹ = I, ottenuta con Gauss-Jordan e verificata in automatico.
- Rango: il numero di righe linearmente indipendenti, letto nella forma a scala.
- Prodotto: l’elemento (i, j) è la riga i di A per la colonna j di B, quindi A deve avere tante colonne quante sono le righe di B. A differenza dei numeri, in generale A · B ≠ B · A.
- Potenza: Aⁿ per moltiplicazioni ripetute; A⁰ è la matrice identità.
Inserimento
Una riga di testo per ogni riga della matrice, con i valori separati da spazi. Anche il punto e virgola vale come a capo: «1 2; 3 4». Sono ammessi interi, decimali con virgola o punto e frazioni come 3/4.
Per risolvere un sistema di equazioni c’è il calcolo dei sistemi di equazioni; la calcolatrice di frazioni semplifica le frazioni e la calcolatrice aiuta nei singoli passaggi.
Forma a scala ridotta, fattorizzazione LU e autovalori
- Forma a scala ridotta: metodo di Gauss-Jordan, con ogni operazione sulle righe nei passaggi. «1 2 3; 4 5 6; 7 8 9» diventa «1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0», il rango è 2.
- Fattorizzazione LU: P · A = L · U con L triangolare inferiore (uno sulla diagonale) e U triangolare superiore. Le righe vengono scambiate solo se un pivot è 0.
- Autovalori: le radici razionali del polinomio caratteristico det(λI − A) sono trovate in forma esatta, un fattore quadratico rimanente in forma esatta con radice quadrata. Per «2 1; 1 2» si ottengono λ = 1 e λ = 3 con autovettori (-1; 1) e (1; 1). Il resto è approssimato e contrassegnato con ≈.
- Aggiunta: la trasposta della matrice dei cofattori; A · adj(A) = det(A) · I.
Si può incollare una matrice da un foglio di calcolo (tabulazioni tra le celle). Sono lette anche notazioni come [[1, 2], [3, 4]] o [1 2; 3 4].
Domande frequenti
Come si calcola il determinante di una matrice 3×3?
Si porta a forma triangolare con l’eliminazione di Gauss e si moltiplica la diagonale, oppure si usa la regola di Sarrus. Lo strumento mostra le operazioni passo per passo.
Quando una matrice non ha inversa?
Quando il determinante è 0. Allora le righe sono dipendenti (rango minore del numero di righe) e il sistema non ha soluzione unica.
Come si moltiplicano due matrici?
Ogni elemento del prodotto è la somma dei prodotti di una riga di A per una colonna di B. Il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B.
Che cosa significa il rango di una matrice?
Indica quante righe (o colonne) sono linearmente indipendenti, cioè quante righe restano non nulle dopo l’eliminazione di Gauss.
Perché lo strumento mostra frazioni e non decimali?
Le frazioni sono esatte: 1/3 resta 1/3 invece di 0,333…. Se preferisci i decimali, cambia la visualizzazione.
Come si calcolano gli autovalori di una matrice?
Sono le radici del polinomio caratteristico det(λI − A). Per «2 1; 1 2» è λ² − 4λ + 3, quindi gli autovalori sono 1 e 3. Lo strumento mostra il polinomio e gli autovettori.
Fonti e riferimenti normativi
- Wolfram MathWorld – Gaussian elimination
- Wolfram MathWorld – Determinant
- Wolfram MathWorld – Matrix inverse
- Wolfram MathWorld – Eigenvalue
- Wolfram MathWorld – LU decomposition
Aggiornato al: · Principi editoriali
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