Résoudre un système d’équations
Pour résoudre un système d’équations, tapez les équations comme dans votre cahier. L’outil applique le pivot de Gauss en valeurs exactes et affiche chaque opération sur les lignes.
Source : Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Un système d’équations linéaires a soit une solution unique, soit aucune solution, soit une infinité de solutions. La méthode du pivot de Gauss permet de le savoir : elle transforme le système en un système échelonné équivalent.
Le pivot de Gauss
- Écrire les coefficients et les seconds membres dans la matrice augmentée : 2x + 3y = 12 et x − y = 1 donnent (2 3 | 12) et (1 −1 | 1).
- Échanger deux lignes, diviser une ligne par un nombre ou retrancher à une ligne un multiple d’une autre, jusqu’à obtenir des zéros sous et au-dessus de la diagonale.
- Quand la partie gauche est la matrice identité, la colonne de droite donne la solution : x = 3, y = 2.
L’outil calcule en fractions exactes, sans erreur d’arrondi, puis vérifie la solution dans chaque équation de départ.
Autres méthodes
Pour deux équations à deux inconnues, on utilise aussi au collège et au lycée la substitution (exprimer x en fonction de y puis remplacer) et la combinaison linéaire (additionner les équations multipliées pour éliminer une inconnue) – c’est exactement l’étape de Gauss. Pour un système carré, la règle de Cramer utilise les déterminants : si le déterminant est nul, il n’y a pas de solution unique.
Aucune solution ou une infinité ?
Si une ligne devient 0 = 5, les équations se contredisent : aucune solution (deux droites parallèles). Si une ligne devient 0 = 0, une équation était redondante : des inconnues restent libres et il y a une infinité de solutions. Pour une seule équation du second degré, utilisez l’outil équation du second degré ; pour les fractions, la calculatrice de fractions ; pour tout calcul, la calculatrice scientifique.
Questions fréquentes
Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues ?
Par combinaison : 2x + 3y = 12 et x − y = 1. On multiplie la seconde par 3 et on additionne : 5x = 15, donc x = 3 puis y = 2.
Qu’est-ce que le pivot de Gauss ?
Une méthode qui, par opérations sur les lignes, rend le système échelonné ; on lit ensuite les inconnues une à une.
Quand un système n’a-t-il pas de solution ?
Quand une ligne 0 = c avec c ≠ 0 apparaît : le rang de la matrice augmentée dépasse celui de la matrice des coefficients.
Quand y a-t-il une infinité de solutions ?
Quand le système est compatible mais compte moins d’équations indépendantes que d’inconnues. Les inconnues restantes sont des paramètres libres.
Peut-on saisir des fractions et des décimaux ?
Oui, par ex. 0,5x + 3/4y = 2. Le calcul est exact en fractions ; la solution s’affiche en fraction et en décimal.
Sources et références juridiques
- Wolfram MathWorld – Gaussian elimination
- Wolfram MathWorld – Gauss-Jordan elimination
- Wolfram MathWorld – Linear system of equations
- Wolfram MathWorld – Cramer’s rule
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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