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조합 계산기: 순열과 조합 경우의 수

조합 계산기는 n개 중 r개를 고르는 경우의 수를 구합니다. 순서를 따지는지(순열/조합), 같은 것을 여러 번 고를 수 있는지(중복)만 정하면 공식과 풀이, 그리고 네 가지 경우의 비교표가 나옵니다.

계산 예시: n: 서로 다른 것의 개수 49 · r: 고르는 개수 6 · 순서를 따지나요: 아니요: 무엇을 골랐는지만 중요 (조합) · 같은 것을 여러 번 고를 수 있나요: 아니요: 한 번씩만 → 경우의 수: 13,983,816. 출처: 위키백과 – 조합 (중복조합). 업데이트: .

예: 공 45개
예: 6개를 뽑음
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결과

경우의 수
13,983,816
종류
조합 (nCr)
공식
C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!) = C(49, 6)
풀이 과정
  • C(49, 6) = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) ÷ (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 13,983,816
  • 예: 1~45 중 번호 6개 고르기. 어떤 번호인지만 중요하고 순서는 상관없음
특정한 한 경우가 나올 확률
13,983,816분의 1 (0.000007151 %)
네 가지 경우 비교
종류공식경우의 수
순열 (nPr)n! ÷ (n − k)!10,068,347,520
중복순열 (nΠr)nᵏ13,841,287,201
조합 (nCr)n! ÷ (k! (n − k)!)13,983,816
중복조합 (nHr)(n + k − 1)! ÷ (k! (n − 1)!)25,827,165
확률은 모든 경우가 같은 정도로 일어난다고 가정한 값입니다.

계산 방법

n개 중 r개를 고르는 경우의 수는 두 가지 질문으로 정해집니다. 순서를 따지는가(순열) 따지지 않는가(조합), 그리고 같은 것을 여러 번 고를 수 있는가(중복)입니다. 그래서 공식은 네 가지입니다. 고등학교 확률과 통계에서 쓰는 기호 nPr, nΠr, nCr, nHr로 정리하면 다음과 같습니다.

순열과 조합 공식

종류공식예
순열 nPrn! ÷ (n − r)!₁₀P₃ = 10 × 9 × 8 = 720 (1~3등 정하기)
중복순열 nΠrnʳ₁₀Π₄ = 10⁴ = 10,000 (4자리 비밀번호)
조합 nCrn! ÷ (r! (n − r)!)₅C₂ = 10 (5명 중 2명 뽑기)
중복조합 nHr(n+r−1)Cr₅H₃ = ₇C₃ = 35 (5가지 맛 중 3스쿱)

n개를 모두 한 줄로 세우면(r = n) n!가지입니다. 책 5권을 꽂는 방법은 5! = 120가지입니다. 0! = 1, nC0 = 1로 약속합니다.

예: 45개 중 6개를 고르는 경우의 수

1부터 45까지의 번호 중 6개를 고르고 순서는 따지지 않으면 ₄₅C₆ = (45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8,145,060가지입니다. 번호 6개가 모두 맞을 확률은 8,145,060분의 1, 약 0.0000123%입니다. 「확률 계산기」로 이런 값을 찾는 경우가 많은데, 모든 경우가 똑같이 나온다면 확률 = 원하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수입니다.

아주 큰 수

계승(팩토리얼)은 아주 빠르게 커집니다. 20!은 이미 19자리, 100!은 158자리입니다. 계산기는 자릿수 제한 없는 정수로 정확히 계산하고, 큰 결과는 10의 거듭제곱 꼴로도 보여 줍니다. nCr과 n! 키는 공학용 계산기에도 있고, 무작위로 번호를 뽑으려면 랜덤 숫자 추첨기를 쓰세요. 팀을 무작위로 나누는 일은 팀 나누기가 해 줍니다.

자주 묻는 질문

nCr은 무슨 뜻인가요?

서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 고르는 조합의 수입니다. nCr = n! ÷ (r! (n − r)!)이며, ₅C₂ = 10입니다.

순열과 조합은 어떻게 다른가요?

순열은 순서를 따져 AB와 BA를 다르게 세고, 조합은 같은 것으로 셉니다. 그래서 nPr = nCr × r!이고, 순열의 수가 언제나 조합의 수보다 크거나 같습니다.

중복조합 nHr은 어떻게 계산하나요?

nHr = (n+r−1)Cr입니다. 5가지 맛 중 3스쿱을 고르면 ₅H₃ = ₇C₃ = 35가지입니다.

4자리 비밀번호는 몇 가지인가요?

0~9 숫자로 중복을 허용하면 10⁴ = 10,000가지(중복순열)입니다. 같은 숫자를 쓰지 않으면 ₁₀P₄ = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040가지입니다.

11명 중 5명을 뽑는 경우의 수는?

순서를 따지지 않으면 ₁₁C₅ = 462가지입니다. 뽑은 5명에게 역할(주장, 부주장 …)까지 정하면 순열이 되어 ₁₁P₅ = 55,440가지입니다.

0!과 nC0은 왜 1인가요?

아무것도 고르지 않거나 아무것도 늘어놓지 않는 방법은 정확히 한 가지이기 때문입니다. 그래야 공식들이 r = 0일 때도 맞습니다.

출처 및 근거

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