Kombinatorik-Rechner
Der Kombinatorik-Rechner zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus n auszuwählen – je nachdem, ob die Reihenfolge zählt und ob sich Elemente wiederholen dürfen.
Beispiel: n – Anzahl der Elemente zur Auswahl 49 · k – Anzahl der ausgewählten Elemente 6 · Spielt die Reihenfolge eine Rolle: Nein – nur die Auswahl zählt · Dürfen sich Elemente wiederholen: Nein – jedes höchstens einmal → Anzahl der Möglichkeiten: 13.983.816. Quelle: Wolfram MathWorld – Binomialkoeffizient (englisch). Stand: .
So wird gerechnet
In der Kombinatorik hängt die Anzahl der Möglichkeiten „k aus n“ an zwei Fragen: Zählt die Reihenfolge (Variation) oder nicht (Kombination)? Und darf ein Element mehrfach vorkommen (mit Wiederholung) oder nicht? Daraus ergeben sich vier Formeln.
Die vier Grundformeln
- Variation ohne Wiederholung: n! ÷ (n − k)! – Siegerpodest, Sitzordnung.
- Variation mit Wiederholung: nᵏ – Zahlenschloss, PIN, Passwort.
- Kombination ohne Wiederholung: „n über k“ = n! ÷ (k! · (n − k)!) – Lotto, Mannschaft auswählen.
- Kombination mit Wiederholung: (n + k − 1)! ÷ (k! · (n − 1)!) – Eiskugeln, Würfelsummen ohne Reihenfolge.
Sonderfall Permutation: Alle n Elemente werden angeordnet (k = n) – das ergibt n! Möglichkeiten, bei 5 Büchern im Regal 5! = 120.
Beispiel Lotto 6 aus 49
Die Reihenfolge der Ziehung spielt keine Rolle, jede Kugel kommt nur einmal vor: 49 über 6 = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) ÷ (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 13.983.816. Die Chance auf sechs Richtige beträgt also 1 : 13.983.816 (ohne Superzahl).
Große Zahlen
Fakultäten wachsen extrem schnell: 20! hat schon 19 Stellen, 100! hat 158. Der Rechner rechnet mit ganzen Zahlen beliebiger Länge exakt und zeigt sehr große Ergebnisse zusätzlich in Zehnerpotenz-Schreibweise – so wie die wissenschaftliche Notation. Einzelne Fakultäten oder nCr-Tasten gibt es auch im wissenschaftlichen Taschenrechner; Zufallsziehungen macht der Zufallszahlen-Generator.
Häufige Fragen
Was bedeutet „n über k“?
Der Binomialkoeffizient „n über k“ zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus n auszuwählen, ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung: n! ÷ (k! · (n − k)!). 5 über 2 = 10.
Was ist der Unterschied zwischen Variation und Kombination?
Bei der Variation zählt die Reihenfolge (AB ≠ BA), bei der Kombination nicht (AB = BA). Deshalb gibt es immer mindestens so viele Variationen wie Kombinationen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 49?
13.983.816 – das ist „49 über 6“. Mit Superzahl (0–9) sind es zehnmal so viele: 139.838.160.
Was ist eine Permutation?
Die Anordnung aller n Elemente in einer Reihenfolge. Es gibt n! Permutationen – bei 4 Personen in einer Schlange 4! = 24.
Wie viele 4-stellige PINs gibt es?
10⁴ = 10.000 (Variation mit Wiederholung, Ziffern 0–9). Ohne doppelte Ziffern wären es 10 · 9 · 8 · 7 = 5.040.
Was ist 0! und n über 0?
Beide sind 1: Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen oder nichts anzuordnen.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wolfram MathWorld – Binomialkoeffizient (englisch)
- Wolfram MathWorld – Kombination (englisch)
- Wolfram MathWorld – Permutation (englisch)
- Wolfram MathWorld – Kombination mit Wiederholung, Multichoose (englisch)
Stand: · So prüfen wir
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