Calcolo combinatorio
Questo strumento di calcolo combinatorio conta in quanti modi si possono scegliere k elementi su n, a seconda che l’ordine conti o no e che le ripetizioni siano ammesse.
Esempio: n – numero di elementi disponibili 49 · k – numero di elementi scelti 6 · L’ordine conta: No – conta solo la scelta (combinazione) · Sono ammesse ripetizioni: No – ogni elemento al massimo una volta → Numero di possibilità: 13.983.816. Fonte: Wolfram MathWorld – Binomial coefficient. Aggiornato al: .
Come si calcola
Il numero di modi per scegliere k elementi su n dipende da due domande: l’ordine conta (disposizione) o no (combinazione)? Un elemento può essere scelto più volte (con ripetizione)? Ne nascono quattro formule.
Le quattro formule
- Disposizione semplice: n! ÷ (n − k)! – podio, assegnazione di incarichi.
- Disposizione con ripetizione: nᵏ – lucchetti a combinazione, PIN, password.
- Combinazione semplice, «n su k»: n! ÷ (k! (n − k)!) – lotterie, scelta di una squadra.
- Combinazione con ripetizione: (n + k − 1)! ÷ (k! (n − 1)!) – gusti di gelato, acquisti ripetuti.
Caso particolare, la permutazione: si ordinano tutti gli n elementi (k = n), cioè n! modi. 5 libri su uno scaffale: 5! = 120 ordini.
Esempio: SuperEnalotto
Al SuperEnalotto si indovinano 6 numeri su 90 e l’ordine non conta: 90 su 6 = (90 · 89 · 88 · 87 · 86 · 85) ÷ (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 622.614.630. Con una sola colonna la probabilità del 6 è 1 su oltre 622 milioni.
Numeri molto grandi
I fattoriali crescono rapidissimi: 20! ha già 19 cifre, 100! ne ha 158. Lo strumento calcola esattamente con interi di qualsiasi lunghezza e mostra i risultati enormi anche in notazione scientifica. I tasti n! e nCr sono anche sulla calcolatrice scientifica, mentre le estrazioni si fanno con il generatore di numero casuale.
Domande frequenti
Come si calcola il coefficiente binomiale «n su k»?
Con la formula n! ÷ (k! (n − k)!), scritta anche C(n, k). Ad esempio 5 su 2 = 10.
Che differenza c’è tra disposizioni e combinazioni?
Nelle disposizioni l’ordine conta (AB ≠ BA), nelle combinazioni no (AB = BA). Per questo le disposizioni sono sempre almeno quante le combinazioni.
Quante combinazioni ha il SuperEnalotto?
622.614.630, cioè 90 su 6. Una singola colonna ha quindi una probabilità su oltre 622 milioni di fare 6.
Quanti PIN di 4 cifre esistono?
10⁴ = 10.000 (disposizioni con ripetizione). Senza cifre ripetute sarebbero 10 · 9 · 8 · 7 = 5.040.
Come si calcolano le combinazioni con ripetizione?
Con (n + k − 1) su k. Tre palline da cinque gusti: 7 su 3 = 35 coppette possibili.
Quanto vale 0!?
0! = 1, e anche n su 0 = 1: c’è un solo modo di non scegliere nulla.
Fonti e riferimenti normativi
- Wolfram MathWorld – Binomial coefficient
- Wolfram MathWorld – Combination
- Wolfram MathWorld – Permutation
- Wolfram MathWorld – Multichoose (combinations with repetition)
Aggiornato al: · Principi editoriali
Strumenti correlati
- Quadrato di Punnett con rapporti genotipici e fenotipiciQuadrato di Punnett online: inserisca il genotipo dei due genitori (es. AaBb) e ottenga gameti, quadrato completo e rapporti genotipici e fenotipici.
- Calcolatrice scientifica onlineCalcolatrice scientifica online gratis: seno, coseno e tangente in gradi o radianti, log, ln, radici, potenze, fattoriale e combinazioni, con passaggi.
- Generatore di numeri casualiGeneratore di numeri casuali: scegli numeri tra due valori, 1–100 o fino a 1.000 insieme, senza ripetizioni se preferisci. Combinazioni per le lotterie.
- Calcolo della funzione gammaFunzione gamma online: Γ(x) con dieci cifre, il fattoriale x! = Γ(x+1), ln Γ(x) e 1/Γ(x), anche per numeri negativi, decimali e molto grandi.
- Calcolatrice di notazione scientificaConverti un numero in notazione scientifica e viceversa: a × 10ⁿ, notazione E, notazione ingegneristica con prefisso SI e forma decimale, con procedimento.
- Scomposizione in fattori primiScomposizione in fattori primi di qualsiasi numero fino a mille miliardi, con i passaggi, verifica se è un numero primo, numero e somma dei divisori.
- Calcolatrice onlineCalcolatrice online gratis: digita o tocca e hai subito il risultato. Percentuale, radice quadrata, parentesi, precedenza delle operazioni e cronologia.
- Calcolo outs pokerCalcolo outs poker per il Texas hold'em: inserisci outs, piatto e puntata: probabilità di chiudere alla carta successiva e al river, pot odds e valore del call.
- Calcolatore della distribuzione ipergeometricaDistribuzione ipergeometrica per estrazioni senza reinserimento: P(X = k), P(X ≤ k) e P(X ≥ k), più valore atteso e varianza con il calcolo passo dopo passo.