Calculadora de combinaciones
La calculadora de combinaciones cuenta de cuántas formas se pueden elegir k elementos de n, según importe o no el orden y se permita o no la repetición.
Ejemplo: n – número de elementos disponibles 49 · k – número de elementos elegidos 6 · ¿Importa el orden: No – solo cuenta la selección (combinación) · ¿Se pueden repetir elementos: No – cada uno como máximo una vez → Número de posibilidades: 13.983.816. Fuente: Wolfram MathWorld – Binomial coefficient. Actualizado: .
Cómo se calcula
El número de formas de elegir k elementos de n depende de dos preguntas: ¿importa el orden (variación) o no (combinación)? ¿Puede repetirse un elemento (con repetición)? Así salen cuatro fórmulas.
Las cuatro fórmulas
- Variación sin repetición: n! ÷ (n − k)! – podio, reparto de cargos.
- Variación con repetición: nᵏ – candados de combinación, PIN, contraseñas.
- Combinación sin repetición, «n sobre k»: n! ÷ (k! (n − k)!) – lotería, elegir un equipo.
- Combinación con repetición: (n + k − 1)! ÷ (k! (n − 1)!) – bolas de helado, compras repetidas.
Caso especial, la permutación: se ordenan los n elementos (k = n), lo que da n! posibilidades. 5 libros en una estantería: 5! = 120 órdenes.
Ejemplo: La Primitiva
En La Primitiva se eligen 6 números de 49 y el orden no importa: 49 sobre 6 = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) ÷ (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 13.983.816. La probabilidad de acertar los seis con una apuesta es 1 entre 13.983.816.
Números muy grandes
Los factoriales crecen muy deprisa: 20! ya tiene 19 cifras y 100! tiene 158. La calculadora trabaja con enteros de cualquier longitud y muestra los resultados enormes también en notación científica. Las teclas n! y nCr están en la calculadora científica, y los sorteos, en el generador de números aleatorios.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula «n sobre k»?
Con la fórmula n! ÷ (k! (n − k)!), también escrita C(n, k) o nCr. Por ejemplo, 5 sobre 2 = 10.
¿Qué diferencia hay entre variación y combinación?
En la variación importa el orden (AB ≠ BA); en la combinación no (AB = BA). Por eso siempre hay al menos tantas variaciones como combinaciones.
¿Cuántas combinaciones tiene La Primitiva?
13.983.816, que es 49 sobre 6. Con una sola apuesta la probabilidad de acertar los seis es 1 entre casi 14 millones.
¿Cuántos PIN de 4 cifras hay?
10⁴ = 10.000 (variación con repetición). Sin cifras repetidas serían 10 · 9 · 8 · 7 = 5.040.
¿Cómo se calculan combinaciones con repetición?
Con (n + k − 1) sobre k. Tres bolas de helado de cinco sabores: 7 sobre 3 = 35 copas posibles.
¿Cuánto valen 0! y n sobre 0?
Ambos valen 1: hay exactamente una forma de no elegir nada o de no ordenar nada.
Fuentes y base legal
- Wolfram MathWorld – Binomial coefficient
- Wolfram MathWorld – Combination
- Wolfram MathWorld – Permutation
- Wolfram MathWorld – Multichoose (combinations with repetition)
Última actualización: · Principios editoriales
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