PL

Kalkulator kombinacji

Kalkulator kombinacji liczy, na ile sposobów można wybrać k elementów z n – zależnie od tego, czy liczy się kolejność i czy elementy mogą się powtarzać.

Przykład: n – liczba elementów do wyboru 49 · k – liczba wybranych elementów 6 · Czy kolejność ma znaczenie: Nie – liczy się tylko wybór (kombinacja) · Czy elementy mogą się powtarzać: Nie – każdy najwyżej raz → Liczba możliwości: 13 983 816. Źródło: Wolfram MathWorld – Binomial coefficient. Stan na: .

np. 49 kul
np. 6 wylosowanych kul
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Liczba możliwości
13 983 816
Przypadek
Kombinacja bez powtórzeń (n po k)
Wzór
C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!) = C(49, 6)
Tok obliczeń
  • C(49, 6) = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) ÷ (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 13 983 816
  • Przykład: Lotto 6 z 49 – liczy się, które liczby padną, a nie kolejność.
Prawdopodobieństwo jednego wyniku
1 do 13 983 816 (0,000007151 %)
Porównanie czterech przypadków
PrzypadekWzórLiczba
Wariacja bez powtórzeńn! ÷ (n − k)!10 068 347 520
Wariacja z powtórzeniaminᵏ13 841 287 201
Kombinacja bez powtórzeń (n po k)n! ÷ (k! (n − k)!)13 983 816
Kombinacja z powtórzeniami(n + k − 1)! ÷ (k! (n − 1)!)25 827 165
Prawdopodobieństwo zakłada, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Jak to obliczamy

Liczba sposobów wyboru k elementów z n zależy od dwóch pytań: czy liczy się kolejność (wariacja), czy nie (kombinacja)? I czy element można wybrać więcej niż raz (z powtórzeniami)? Stąd cztery wzory.

Cztery wzory

Szczególny przypadek to permutacja: ustawienie wszystkich n elementów (k = n) daje n! możliwości. 5 książek na półce: 5! = 120 ustawień.

Przykład: Lotto

W Lotto losuje się 6 liczb z 49, a kolejność nie ma znaczenia: 49 po 6 = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) ÷ (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 13 983 816. Szansa na „szóstkę” przy jednym zakładzie wynosi 1 do 13 983 816.

Bardzo duże liczby

Silnie rosną bardzo szybko: 20! ma już 19 cyfr, a 100! – 158. Kalkulator liczy dokładnie na liczbach całkowitych dowolnej długości i pokazuje ogromne wyniki także w notacji wykładniczej. Klawisze n! i nCr ma też kalkulator naukowy, a losowanie przeprowadzi generator liczb losowych.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć symbol Newtona „n po k”?

Ze wzoru n! ÷ (k! (n − k)!), zapisywanego też C(n, k). Na przykład 5 po 2 = 10.

Czym różni się wariacja od kombinacji?

W wariacji liczy się kolejność (AB ≠ BA), w kombinacji nie (AB = BA). Dlatego wariacji jest zawsze co najmniej tyle, co kombinacji.

Ile jest kombinacji w Lotto?

13 983 816, czyli 49 po 6. Jeden zakład daje szansę 1 do prawie 14 milionów na trafienie szóstki.

Ile jest 4-cyfrowych kodów PIN?

10⁴ = 10 000 (wariacja z powtórzeniami). Bez powtarzania cyfr: 10 · 9 · 8 · 7 = 5040.

Jak liczyć kombinacje z powtórzeniami?

Ze wzoru (n + k − 1) po k. Trzy gałki z pięciu smaków: 7 po 3 = 35 możliwych pucharków.

Ile wynosi 0!?

0! = 1, a także n po 0 = 1: jest dokładnie jeden sposób, by nic nie wybrać.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia