Calcul de la fonction gamma
Calculez la fonction gamma Γ(x) de tout réel sauf 0, −1, −2, …, y compris des valeurs comme Γ(0,5) = √π et des résultats énormes écrits en puissance de dix.
Exemple : x 0,5 → Résultat : Γ(0,5) = 1,772453851. Source : NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La fonction gamma prolonge la factorielle aux nombres réels : Γ(n) = (n − 1)! pour les entiers positifs et Γ(x + 1) = x·Γ(x) pour tout x. Ainsi Γ(5) = 4! = 24 et Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.
Définition et propriétés
Pour x > 0, la fonction gamma est l’intégrale d’Euler Γ(x) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(x−1) dt. Deux règles de la NIST Digital Library of Mathematical Functions l’étendent aux autres nombres :
- Relation de récurrence : Γ(x + 1) = x·Γ(x), donc Γ(1,5) = 0,5·Γ(0,5) ≈ 0,8862269255.
- Formule des compléments : Γ(x)·Γ(1 − x) = π / sin(πx), qui donne les valeurs négatives, par exemple Γ(−0,5) = −2√π ≈ −3,5449077018.
En 0, −1, −2, … la fonction a des pôles et n’a pas de valeur. Entre les pôles de l’axe négatif, son signe alterne.
Valeurs de la fonction gamma
| x | Γ(x) |
|---|---|
| 0,25 | 3,6256099082 |
| 0,5 | 1,7724538509 |
| 1,5 | 0,8862269255 |
| 2,5 | 1,3293403882 |
| 4,5 | 11,6317283966 |
| 5 | 24 |
| −0,5 | −3,5449077018 |
| −1,5 | 2,3632718012 |
La valeur de référence du NIST Γ(1/3) = 2,67893 85347… est elle aussi retrouvée. Au-delà de x ≈ 171,6, le résultat ne tient plus dans un nombre à virgule flottante ordinaire ; l’outil l’affiche alors à partir de ln Γ(x), par exemple Γ(200) = 199! ≈ 3,943289 × 10³⁷². Pour les entiers, le calcul de factorielle donne tous les chiffres ; le facteur 1/√(2π) de la loi normale découle de Γ(1/2) = √π.
Précision
L’approximation de Lanczos est précise à environ 15 chiffres significatifs ; l’outil en affiche dix. Les très grandes valeurs proviennent de ln Γ(x), dont l’erreur d’arrondi croît avec sa taille : à partir de x ≈ 3500, l’outil affiche donc neuf chiffres, et sept pour x = 1 000 000. Tout près d’un pôle, le résultat devient immense et le seul arrondi de la saisie y coûte de la précision relative.
Questions fréquentes
Que vaut la fonction gamma de 0,5 ?
Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.
Quel lien entre fonction gamma et factorielle ?
Γ(n) = (n − 1)! pour les entiers positifs, donc Γ(5) = 24. Inversement x! = Γ(x + 1) pour tout réel qui n’est pas un entier négatif.
La fonction gamma peut-elle être négative ?
Oui, pour certains x négatifs : Γ(−0,5) ≈ −3,5449077018, tandis que Γ(−1,5) ≈ 2,3632718012 redevient positive.
Pourquoi Γ(0) n’existe-t-elle pas ?
La fonction gamma a un pôle en 0 et en chaque entier négatif ; près de ces points, les valeurs croissent sans limite.
Combien vaut 0,5 factorielle ?
0,5! = Γ(1,5) = √π / 2 ≈ 0,8862269255.
Sources et références juridiques
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026)
- NIST DLMF §5.4: Γ(1) = 1, n! = Γ(n+1), Γ(1/2) = √π = 1.77245 38509…, Γ(1/3) = 2.67893 85347… (read 14.10.2026)
- NIST DLMF §5.5: recurrence Γ(z+1) = z·Γ(z) and reflection Γ(z)·Γ(1−z) = π/sin(πz) (read 14.10.2026)
- Wikipedia, Lanczos approximation: coefficients for g = 7, n = 9 used for the numerical value (read 14.10.2026)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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