Kalkulator ciągu liczbowego

Q: Jak znaleźć regułę ciągu liczbowego?

Policz różnice między sąsiednimi wyrazami. Jeśli wszystkie są równe, ciąg jest arytmetyczny. Jeśli równe są ilorazy sąsiednich wyrazów, ciąg jest geometryczny. Jeśli równe są dopiero różnice różnic, ciąg jest kwadratowy.

Q: Jak obliczyć n-ty wyraz?

W ciągu arytmetycznym aₙ = a₁ + (n − 1)·r, w geometrycznym aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Dla 3, 7, 11 i r = 4 dziesiąty wyraz to 3 + 9·4 = 39.

Q: Jak obliczyć sumę n pierwszych wyrazów?

Arytmetyczny: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2, klasyczny wzór Gaussa. Geometryczny: Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Dla 3, 7, 11 … dziesięć pierwszych wyrazów daje razem 210.

Q: Czym jest ciąg Fibonacciego?

Ciągiem, w którym każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … Iloraz sąsiednich wyrazów zbliża się do złotej proporcji, około 1,618.

Q: Dlaczego kalkulator czasem nie znajduje reguły?

Sprawdzane są tylko cztery wymienione typy. Inne, jak liczby pierwsze, rządzą się innymi regułami. Przy większej liczbie wyrazów rozpoznanie jest pewniejsze.

Ten kalkulator ciągu liczbowego rozpoznaje regułę ukrytą w liście liczb, kontynuuje ją i podaje wzór na n-ty wyraz. Liczy też sumę n pierwszych wyrazów albo tworzy ciąg arytmetyczny lub geometryczny z pierwszego wyrazu i różnicy lub ilorazu.

Źródło: Wikipedia – Arithmetic progression (formula and sum). Stan na: 1 października 2026.

Co chcesz zrobić?

Ciąg liczb

Oddziel liczby przecinkami, spacjami lub nowymi wierszami. Przy ułamkach z przecinkiem oddziel liczby średnikami. Co najmniej 3 liczby.

dla n-tego wyrazu i sumy n pierwszych wyrazów (od 1 do 200)

Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Rodzaj ciągu: Ciąg arytmetyczny o różnicy r = 4
Wzór ogólny: aₙ = 3 + (n − 1) · 4 = 4n − 1
Kolejne 5 wyrazów: 23, 27, 31, 35, 39
n-ty wyraz: a10 = 39
Suma n pierwszych wyrazów: S10 = 210
Suma szeregu nieskończonego
Wyrazy i sumy: n Wyraz aₙ Suma Sₙ
1 3 3
2 7 10
3 11 21
4 15 36
5 19 55
6 23 78
7 27 105
8 31 136
9 35 171
10 39 210; Reguła wywnioskowana z kilku wyrazów to tylko propozycja: do każdej skończonej listy pasuje nieskończenie wiele wzorów. Kalkulator podaje najprostszą rozpoznaną regułę.

n	Wyraz aₙ	Suma Sₙ
1	3	3
2	7	10
3	11	21
4	15	36
5	19	55
6	23	78
7	27	105
8	31	136
9	35	171
10	39	210

Jak to obliczamy

Ciąg liczbowy to uporządkowana lista liczb a₁, a₂, a₃ … zbudowana według stałej reguły. Kalkulator sprawdza, czy wyrazy mają stałą różnicę, stały iloraz, regułę Fibonacciego lub stałą drugą różnicę.

Cztery rozpoznawane ciągi

Ciąg arytmetyczny: każdy wyraz różni się od poprzedniego o to samo r. Wzór aₙ = a₁ + (n − 1)·r, suma n pierwszych wyrazów Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2. Przykład 3, 7, 11, 15: r = 4.
Ciąg geometryczny: każdy wyraz to q razy poprzedni. Wzór aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, suma Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Przykład 2, 6, 18, 54: q = 3. Gdy |q| < 1, szereg nieskończony zbliża się do a₁ ÷ (1 − q).
Ciąg typu Fibonacciego: każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich, np. 1, 1, 2, 3, 5, 8.
Ciąg kwadratowy: różnice między wyrazami tworzą ciąg arytmetyczny, więc druga różnica jest stała. Przykład 1, 4, 9, 16 z aₙ = n².

Do czego się to przydaje

Ciągi arytmetyczne opisują równe raty, geometryczne – wzrost i odsetki, zobacz kalkulator procentu składanego i kalkulator potęg. Średnią listy wartości policzysz w kalkulatorze średniej.

Najczęściej zadawane pytania

Jak znaleźć regułę ciągu liczbowego?

Policz różnice między sąsiednimi wyrazami. Jeśli wszystkie są równe, ciąg jest arytmetyczny. Jeśli równe są ilorazy sąsiednich wyrazów, ciąg jest geometryczny. Jeśli równe są dopiero różnice różnic, ciąg jest kwadratowy.

Jak obliczyć n-ty wyraz?

W ciągu arytmetycznym aₙ = a₁ + (n − 1)·r, w geometrycznym aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Dla 3, 7, 11 i r = 4 dziesiąty wyraz to 3 + 9·4 = 39.

Jak obliczyć sumę n pierwszych wyrazów?

Arytmetyczny: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2, klasyczny wzór Gaussa. Geometryczny: Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Dla 3, 7, 11 … dziesięć pierwszych wyrazów daje razem 210.

Czym jest ciąg Fibonacciego?

Ciągiem, w którym każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … Iloraz sąsiednich wyrazów zbliża się do złotej proporcji, około 1,618.

Dlaczego kalkulator czasem nie znajduje reguły?