Schwerpunkt Dreieck berechnen
Hier können Sie den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnen, indem Sie die Koordinaten der drei Eckpunkte eintragen. Beispiel: A(1|2), B(7|2) und C(4|8) haben den Schwerpunkt S(4|4) und die Fläche 18.
Beispiel: x-Koordinate von A 1 · y-Koordinate von A 2 · x-Koordinate von B 7 · y-Koordinate von B 2 · x-Koordinate von C 4 · y-Koordinate von C 8 → Ergebnis: Schwerpunkt S(4 | 4), Fläche A = 18. Quelle: Wikipedia – Centroid. Stand: .
So wird gerechnet
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, in dem sich die drei Schwerlinien schneiden; dort ließe sich eine ebene Dreiecksplatte genau ausbalancieren. Er liegt stets im Inneren des Dreiecks.
Formel und Rechenweg
Aus den Eckpunkten A(x₁|y₁), B(x₂|y₂) und C(x₃|y₃) folgt S = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3 | (y₁ + y₂ + y₃) / 3). Es genügt also, die Koordinaten zu mitteln. Eine Schwerlinie verbindet eine Ecke mit der Mitte der Gegenseite, und der Schwerpunkt teilt sie im Verhältnis 2 : 1, wobei der längere Teil bei der Ecke liegt. Die Fläche erhalten Sie aus der Gaußschen Trapezformel.
Durchgerechnetes Beispiel
Für A(1|2), B(7|2) und C(4|8) ist xₛ = (1 + 7 + 4) / 3 = 4 und yₛ = (2 + 2 + 8) / 3 = 4, also S(4|4). Die Fläche beträgt |1 · (2 − 8) + 7 · (8 − 2) + 4 · (2 − 2)| / 2 = |−6 + 42 + 0| / 2 = 18. Die Seite AB hat die Mitte (4|2); die Schwerlinie von C dorthin ist 6 lang, davon liegen 4 zwischen C und S und 2 zwischen S und der Seitenmitte.
- Der Schwerpunkt des Dreiecks fällt mit dem Schwerpunkt der drei Eckpunkte als Massepunkte zusammen, nicht aber mit dem Umkreismittelpunkt.
- Bei einem gleichseitigen Dreieck stimmen Schwerpunkt, Umkreis- und Inkreismittelpunkt überein.
Häufige Fragen
Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Dreiecks?
Mitteln Sie die x-Koordinaten und die y-Koordinaten der drei Eckpunkte getrennt: S = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3 | (y₁ + y₂ + y₃) / 3).
In welchem Verhältnis teilt der Schwerpunkt die Schwerlinien?
Im Verhältnis 2 : 1. Der Abstand zur Ecke ist doppelt so groß wie der Abstand zur Mitte der Gegenseite; im Beispiel 4 zu 2.
Liegt der Schwerpunkt immer im Dreieck?
Ja, bei jedem Dreieck, auch bei stumpfwinkligen. Das gilt nicht für den Höhenschnittpunkt oder den Umkreismittelpunkt, die außerhalb liegen können.
Quellen und Rechtsgrundlagen
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
- Schwerpunkt berechnen für bis zu vier MassenSchwerpunkt berechnen: x- und y-Koordinate des Massenmittelpunkts von bis zu vier Punktmassen – oder den Flächenschwerpunkt einer zusammengesetzten Fläche.
- Dreieck berechnenDreieck berechnen aus drei Angaben (SSS, SWS, WSW, SSW): fehlende Seiten und Winkel, Fläche, Umfang, Höhen, In- und Umkreis – mit Rechenweg und Dreiecksart.
- Gleichseitiges Dreieck berechnenGleichseitiges Dreieck berechnen aus Seite, Höhe, Fläche oder Umfang: alle Größen samt In- und Umkreisradius mit Formeln, Rechenweg und Beispiel.
- Satz des Pythagoras – RechnerSatz-des-Pythagoras-Rechner: zwei Seiten eingeben, dritte Seite, Winkel, Fläche und Höhe erhalten – mit exakter Wurzel, Rechenweg und Rechtwinkligkeits-Probe.
- Vektorrechner mit RechenwegVektorrechner für 2D und 3D: Summe, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag, Winkel und Projektion zweier Vektoren – sofort und mit Rechenweg zum Nachvollziehen.
- Geradengleichung aufstellenGeradengleichung aufstellen aus zwei Punkten oder aus Punkt und Steigung: Normalform, allgemeine Form, Parameterform, Nullstelle und Rechenweg sofort.
- Taschenrechner onlineKostenloser Online-Taschenrechner: tippen oder klicken, Ergebnis sofort – mit Punkt-vor-Strich, Klammern, Prozent, Wurzel, Rechenweg und Verlauf.
- Flaschenzug berechnen: Zugkraft und Seilweg aus Last und tragenden SeilenFlaschenzug berechnen: aus Last, Zahl der tragenden Seilstücke und Wirkungsgrad die nötige Zugkraft in N und kg sowie die Seillänge, die man ziehen muss.
- Grad in Bogenmaß umrechnenGrad in Bogenmaß: Winkel eingeben und sofort rad, Vielfaches von π, Gon und Umdrehungen sehen – mit Formel, Beispiel und Tabelle der wichtigsten Winkel.