Kreisgleichung aufstellen
Die Kreisgleichung lautet (x − a)² + (y − b)² = r². Mit Mittelpunkt (2 | −3) und Radius 5 ergibt sich (x − 2)² + (y + 3)² = 25. Der Rechner wandelt zwischen den Formen um und findet den Kreis durch drei Punkte.
Beispiel: Kreis angeben: aus Mittelpunkt und Radius · Mittelpunkt x (a) 2 · Mittelpunkt y (b) -3 · Radius r 5 · Prüfpunkt x 5 · Prüfpunkt y 1 → Kreisgleichung: (x − 2)² + (y + 3)² = 25. Quelle: Wikipedia – Kreis (Kreisgleichung, Koordinatenform). Stand: .
So wird gerechnet
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte mit dem gleichen Abstand r vom Mittelpunkt M(a | b). Mit dem Satz des Pythagoras folgt die Kreisgleichung (x − a)² + (y − b)² = r². Wird sie ausmultipliziert, entsteht die allgemeine Form x² + y² + D·x + E·y + F = 0.
Von einer Form zur anderen
Aus Mittelpunkt und Radius folgt D = −2a, E = −2b und F = a² + b² − r². Umgekehrt liefert die quadratische Ergänzung den Mittelpunkt M(−D/2 | −E/2) und den Radius r = √(D²/4 + E²/4 − F). Für (x − 2)² + (y + 3)² = 25 ist die allgemeine Form x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0. Ist der Ausdruck unter der Wurzel nicht positiv, gibt es keinen Kreis.
Kreis durch drei Punkte
Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen genau einen Kreis, den Umkreis des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Der Rechner löst das direkt über die Koordinaten und gibt beide Formen an. Mit einem Prüfpunkt sehen Sie, ob ein Punkt innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises liegt, indem sein Abstand zum Mittelpunkt mit r verglichen wird.
- Ein Mittelpunkt im Ursprung ergibt die einfache Form x² + y² = r².
- Die Koordinaten sind kartesisch; Vorzeichen beachten: (y + 3) bedeutet b = −3.
- Umfang 2πr und Fläche πr² werden gleich mitgeliefert.
Häufige Fragen
Wie lautet die Kreisgleichung?
(x − a)² + (y − b)² = r² mit Mittelpunkt M(a | b) und Radius r. Für M(0 | 0) und r = 5 ist es x² + y² = 25.
Wie finde ich Mittelpunkt und Radius aus der allgemeinen Form?
Mit M(−D/2 | −E/2) und r = √(D²/4 + E²/4 − F). Für x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 ergibt das M(2 | −3) und r = 5.
Wie stellt man die Kreisgleichung aus drei Punkten auf?
Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Punktepaare, der Radius der Abstand zu einem Punkt. Der Rechner nimmt Ihnen die Rechnung ab, wenn die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Kreis (Kreisgleichung, Koordinatenform)
- Wikipedia – Circle (Equations)
- Wikipedia – Umkreis (Berechnung aus den Koordinaten der Eckpunkte)
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