DE

Satz des Pythagoras – Rechner

Der Satz des Pythagoras Rechner braucht zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks: Lassen Sie die gesuchte Seite leer. Tragen Sie alle drei ein, prüft er, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Quelle: Wolfram MathWorld – Satz des Pythagoras (englisch). Stand: .

Meine ToolboxDeine Eingaben werden nur in diesem Browser gespeichert.

Ergebnis

Ergebnis
c = 5
Exakter Wert
c = √25 = 5
Winkel
α = 36,8699°, β = 53,1301°, γ = 90°
Flächeninhalt A
6
Umfang u
12
Höhe h auf c und Hypotenusenabschnitte p, q
h = 2,4; p = 1,8; q = 3,2
Rechenweg
  • a² + b² = c²
  • c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
  • α = arctan(a ÷ b) = arctan(3 ÷ 4) ≈ 36,8699°; β = 90° − α ≈ 53,1301°
  • A = a · b ÷ 2 = 3 · 4 ÷ 2 = 6
  • h = a · b ÷ c = 12 ÷ 5 ≈ 2,4
3, 4, 5 ist ein pythagoreisches Tripel – drei ganze Zahlen mit a² + b² = c².

So wird gerechnet

Der Satz des Pythagoras besagt: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse, a² + b² = c². Daraus folgt c = √(a² + b²) und für eine Kathete a = √(c² − b²). Bei a = 3 und b = 4 ist c = √25 = 5.

Was sind Katheten und Hypotenuse?

Die Hypotenuse c liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten a und b. Wer die Seiten vertauscht, bekommt falsche Ergebnisse – deshalb meldet der Rechner, wenn eine Kathete länger als c sein soll.

Die Formeln

Exakte Wurzel und Rechtwinkligkeit prüfen

Geht die Wurzel nicht auf, zeigt der Rechner zusätzlich die vereinfachte Form: Bei a = b = 5 ist c = √50 = 5√2 ≈ 7,07. Tragen Sie alle drei Seiten ein, rechnet er die Umkehrung: Gilt a² + b² = c², ist das Dreieck rechtwinklig. So prüfen Handwerker einen rechten Winkel mit der 3-4-5-Regel – 60 cm, 80 cm und 1 m Diagonale.

Anwendungen

Diagonale eines Rechtecks oder Bildschirms, Länge einer Leiter an der Wand, Dachsparren aus Höhe und halber Hausbreite, Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Wurzeln und Quadrate rechnen Sie im wissenschaftlichen Taschenrechner nach, Volumen von Körpern im Volumenrechner. Wie man Wurzeln Schritt für Schritt vereinfacht, zeigt der Potenzrechner.

Häufige Fragen

Wie rechnet man mit dem Satz des Pythagoras?

Beide Katheten quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen: c = √(a² + b²). Für a = 6 und b = 8: √(36 + 64) = √100 = 10.

Wie berechne ich eine Kathete?

Hypotenuse quadrieren, das Quadrat der bekannten Kathete abziehen, Wurzel ziehen: a = √(c² − b²). Für c = 13 und b = 12: √(169 − 144) = √25 = 5.

Gilt der Satz des Pythagoras auch ohne rechten Winkel?

Nein, nur im rechtwinkligen Dreieck. Für beliebige Dreiecke gilt der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ; bei γ = 90° wird daraus wieder Pythagoras.

Wie berechne ich die Winkel im rechtwinkligen Dreieck?

α = arctan(a ÷ b) oder α = arcsin(a ÷ c), β = 90° − α. Beim 3-4-5-Dreieck: α ≈ 36,87°, β ≈ 53,13°.

Wie prüfe ich, ob ein Winkel wirklich 90° hat?

Drei Seiten messen und a² + b² mit c² vergleichen. Sind beide gleich, ist der Winkel gegenüber von c ein rechter (Umkehrung des Satzes). Die 3-4-5-Regel nutzt genau das.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand:

Passende Werkzeuge