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Polarkoordinaten umrechnen: (x, y) in (r, φ) und zurück

Mit diesem Rechner können Sie Polarkoordinaten umrechnen – mit den Beziehungen aus OpenStax Precalculus: x = r cos φ, y = r sin φ und r² = x² + y². Beispiel: Der Punkt (3, 3) hat r = 3√2 ≈ 4,2426 und φ = 45° (π/4); der Polarpunkt (3, 90°) ist (0, 3).

Beispiel: Umrechnung: kartesisch (x, y) → polar (r, φ) · x 3 · y 3 · Winkeleinheit: Grad → Ergebnis: r = 4,2426, φ = 45°. Quelle: OpenStax Precalculus 2e, 8.3 Polar Coordinates: x = r cos θ, y = r sin θ, r² = x² + y², tan θ = y/x; Examples (3, π/2) → (0, 3), (−2, 0) → (−2, 0), (3, 3) → (3√2, π/4) (read 09.10.2026). Stand: .

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Ergebnis

Ergebnis
r = 4,2426, φ = 45°
Rechenweg
GrößeWert
r√(3² + 3²) = 4,2426
φ45°
φ im Bogenmaß0,7854 rad = 0,25 π
Berechnete Werte, auf 4 Nachkommastellen gerundet; φ liegt zwischen 0° und unter 360°, r ≥ 0. (r, φ + 360°) und (−r, φ + 180°) beschreiben denselben Punkt.

So wird gerechnet

x = r cos φ, y = r sin φ – und zurück: r = √(x² + y²), tan φ = y/x. Ein Polarpunkt nennt den Abstand r vom Ursprung (Pol) und den Winkel φ zur positiven x-Achse. Beim Umrechnen nach polar kommt es auf den Quadranten an: tan φ = y/x allein unterscheidet (3, 3) nicht von (−3, −3). Der Rechner berücksichtigt die Vorzeichen von x und y und gibt φ zwischen 0° und 360° aus.

Beispiele

GegebenErgebnis
(x, y) = (3, 3)r = 4,2426 (3√2), φ = 45° = 0,7854 rad (π/4)
(x, y) = (−4, 3)r = 5, φ = 143,1301° = 2,4981 rad
(x, y) = (1, −1)r = 1,4142, φ = 315°
(x, y) = (0, −2)r = 2, φ = 270°
(r, φ) = (3, 90°)(x, y) = (0, 3)
(r, φ) = (−2, 0°)(x, y) = (−2, 0)
(r, φ) = (−1, 120°)(x, y) = (0,5, −0,866)
(r, φ) = (5, 30°)(x, y) = (4,3301, 2,5)

Die Zeilen 1, 5 und 6 sind die Beispiele 3, 4 und 5 aus OpenStax; (−1, 2π/3) ist dort eine Übung mit der Lösung (1/2, −√3/2).

Ein Punkt, viele Polardarstellungen

OpenStax weist darauf hin, dass (3√2, π/4), (−3√2, 5π/4) und (3√2, −7π/4) derselbe Punkt sind. 360° mehr beim Winkel oder ein negatives r mit 180° Drehung verschieben ihn nicht. Sinus- und Kosinuswerte gängiger Winkel zeigt der Einheitskreis-Rechner; komplexe Zahlen in Polarform rechnet der Komplexe-Zahlen-Rechner.

Häufige Fragen

Wie rechne ich kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten um?

r = √(x² + y²) und φ aus tan φ = y/x im richtigen Quadranten. (3, 3): r = √18 = 4,2426, φ = 45°.

Wie rechne ich Polarkoordinaten in kartesische um?

x = r cos φ und y = r sin φ. (3, 90°) ergibt x = 0 und y = 3.

Warum ist der Winkel von (−4, 3) nicht −36,87°?

Weil der Punkt im zweiten Quadranten liegt. arctan(3/−4) liefert −36,87°, plus 180° ergibt die richtigen 143,1301°.

Darf r negativ sein?

Ja, ein negatives r zeigt in die Gegenrichtung: (−2, 0°) ist der Punkt (−2, 0). Beim Umrechnen nach polar gibt der Rechner immer r ≥ 0 aus.

Grad oder Bogenmaß?

Beides. 45° = π/4 ≈ 0,7854 rad; die Winkeleinheit gilt für Eingabe und Ausgabe.

Wie genau sind die Ergebnisse?

Es sind berechnete Werte, auf vier Nachkommastellen gerundet – √2 erscheint als 1,4142.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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