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Dreieck berechnen

Um ein Dreieck zu berechnen, tragen Sie genau drei bekannte Werte ein – mindestens eine Seite – und lassen den Rest leer. Der Rechner ergänzt alle Seiten, Winkel und Maße.

Quelle: Wolfram MathWorld – Kosinussatz (englisch). Stand: .

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Ergebnis

Seiten und Winkel
a = 3 · b = 4 · c = 5 · α = 36,8699° · β = 53,1301° · γ = 90°
Flächeninhalt A
6
Umfang u
12
Höhen
hₐ = 4 · h_b = 3 · h_c = 2,4
Inkreis und Umkreis
Inkreisradius r = 1, Umkreisradius R = 2,5
Art des Dreiecks
rechtwinklig, unregelmäßig
Rechenweg
  • Kosinussatz: α = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2·b·c)) = arccos((16 + 25 − 9) ÷ 40) = 36,8699°
  • Kosinussatz: β = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2·a·c)) = arccos((9 + 25 − 16) ÷ 30) = 53,1301°
  • Winkelsumme: γ = 180° − α − β = 90°
  • Heronsche Formel: s = 6; A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = 6
  • r = A ÷ s = 1; R = abc ÷ (4A) = 2,5
Berechnet nach dem Fall SSS (drei Seiten).

So wird gerechnet

Ein Dreieck ist durch drei Angaben eindeutig bestimmt, wenn mindestens eine davon eine Seite ist: drei Seiten (SSS), zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) oder eine Seite und zwei Winkel (WSW, SWW). Nur bei zwei Seiten und einem Gegenwinkel (SSW) kann es zwei Lösungen geben.

Die Formeln

Bezeichnungen

Die Seiten heißen a, b, c, die Winkel α, β, γ; jeder Winkel liegt der gleichnamigen Seite gegenüber (α gegenüber a). Die Höhe hₐ steht senkrecht auf a und geht durch die gegenüberliegende Ecke. Winkel werden in Grad eingegeben.

Welche Dreiecksart?

Der Rechner bestimmt, ob das Dreieck spitz-, recht- oder stumpfwinklig und ob es gleichseitig, gleichschenklig oder unregelmäßig ist. Für rechtwinklige Dreiecke mit zwei bekannten Seiten geht es schneller mit dem Satz-des-Pythagoras-Rechner; Sinus und Kosinus einzelner Winkel liefert der wissenschaftliche Taschenrechner, Winkel am Bildschirm misst der Winkelmesser.

Häufige Fragen

Wie berechnet man ein Dreieck mit drei Seiten?

Mit dem Kosinussatz die Winkel bestimmen: cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). Beim 3-4-5-Dreieck ergibt das α ≈ 36,87°, β ≈ 53,13° und γ = 90°.

Wie berechne ich die Fläche eines Dreiecks?

Grundseite mal Höhe durch zwei (A = ½ · g · h) oder ohne Höhe mit der Heronschen Formel aus den drei Seiten. Aus zwei Seiten und dem Winkel dazwischen: A = ½ · a · b · sin γ.

Wie berechnet man einen fehlenden Winkel?

Sind zwei Winkel bekannt, über die Winkelsumme: γ = 180° − α − β. Sonst mit Kosinus- oder Sinussatz aus den Seiten.

Warum gibt es manchmal zwei Lösungen?

Bei zwei Seiten und einem Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt (SSW), kann der zweite Winkel spitz oder stumpf sein. Ist die gegenüberliegende Seite die längere, ist das Dreieck eindeutig.

Wann gibt es kein Dreieck?

Wenn zwei Seiten zusammen nicht länger als die dritte sind (Dreiecksungleichung) oder die bekannten Winkel schon 180° oder mehr ergeben.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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