Scheitelpunkt berechnen
Den Scheitelpunkt einer Parabel berechnen Sie hier aus der Normalform f(x) = ax² + bx + c – oder aus der Scheitelform. Für x² − 4x + 3 liegt der Scheitelpunkt bei S(2 | −1); dazu kommen die Scheitelform, die Nullstellen, die Symmetrieachse und der Rechenweg.
Beispiel: Gegeben ist: Normalform f(x) = ax² + bx + c · a 1 · b -4 · c 3 → Scheitelpunkt: Scheitelpunkt S(2 | −1). Quelle: Wikipedia – Parabel (Mathematik): Scheitelpunkt, Scheitelform. Stand: .
So wird gerechnet
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel – dort, wo sie ihre Richtung ändert. Für f(x) = ax² + bx + c liegt er bei x = −b ÷ (2a); den y-Wert erhält man durch Einsetzen. In der Scheitelform f(x) = a(x − d)² + e kann man ihn direkt ablesen: S(d | e).
So rechnet das Tool
- Scheitel-x: x_S = −b ÷ (2a). Er liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, die Symmetrieachse ist die Gerade x = x_S.
- Scheitel-y: y_S = c − b² ÷ (4a).
- Scheitelform: Durch quadratische Ergänzung wird aus ax² + bx + c der Ausdruck a(x − x_S)² + y_S.
- Nullstellen: Aus der Diskriminante b² − 4ac: größer als 0 zwei, gleich 0 eine, kleiner als 0 keine Nullstelle.
Beispiel
f(x) = x² − 4x + 3: x_S = 4 ÷ 2 = 2, y_S = 3 − 16 ÷ 4 = −1. Die Scheitelform lautet f(x) = (x − 2)² − 1, die Nullstellen sind 1 und 3. Umgekehrt führt die Scheitelform f(x) = 2(x − 3)² − 5 ausmultipliziert zu 2x² − 12x + 13. Wer nur die Nullstellen sucht, nutzt den Rechner für quadratische Gleichungen; die Kurve selbst zeigt der Funktionsplotter.
Häufige Fragen
Wie berechnet man den Scheitelpunkt einer Parabel?
Mit x_S = −b ÷ (2a) und dem Einsetzen von x_S in die Funktion für y_S. Bei f(x) = x² − 4x + 3 ist S(2 | −1).
Was ist die Scheitelform?
f(x) = a(x − d)² + e. Der Scheitelpunkt ist S(d | e): d verschiebt die Parabel nach rechts, e nach oben.
Wie komme ich von der Normalform zur Scheitelform?
Durch quadratische Ergänzung: ax² + bx + c = a(x + b ÷ 2a)² + c − b² ÷ 4a. Das Tool zeigt die Schritte mit Ihren Zahlen.
Woran erkenne ich, ob der Scheitelpunkt ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?
Am Vorzeichen von a: Bei a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitel ein Tiefpunkt, bei a < 0 ein Hochpunkt.
Was heißt „keine reellen Nullstellen“?
Die Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse und berührt sie nicht. Der Scheitelpunkt liegt dann auf derselben Seite wie die Parabel.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Parabel (Mathematik): Scheitelpunkt, Scheitelform
- Wikipedia – Quadratic function (Vertex form)
- Wikipedia – Completing the square
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
- Quadratische Gleichung lösenQuadratische Gleichung lösen mit Mitternachtsformel und pq-Formel: Lösungen, Diskriminante, exakte Wurzelform, Scheitelpunkt und Linearfaktoren mit Rechenweg.
- FunktionsplotterFunktionsplotter online: bis zu drei Funktionen zeichnen, zoomen, Nullstellen, Extrema und Schnittpunkte berechnen, Parameter per Schieberegler, PNG oder SVG.
- Ableitung berechnenAbleitung berechnen mit Rechenweg: Funktion eingeben, Regeln sehen, Ableitungen bis zur fünften, Graph von f und f′, Extremstellen und Tangente erhalten.
- Gleichungssystem-RechnerGleichungssystem-Rechner für lineare Gleichungssysteme (LGS) mit 2 bis 6 Unbekannten: exakte Lösung als Bruch, Gauß-Verfahren Schritt für Schritt und Probe.
- Geradengleichung aufstellenGeradengleichung aufstellen aus zwei Punkten oder aus Punkt und Steigung: Normalform, allgemeine Form, Parameterform, Nullstelle und Rechenweg sofort.
- Taschenrechner onlineKostenloser Online-Taschenrechner: tippen oder klicken, Ergebnis sofort – mit Punkt-vor-Strich, Klammern, Prozent, Wurzel, Rechenweg und Verlauf.
- Quadratische Ergänzung RechnerQuadratische Ergänzung Rechner: ax² + bx + c in Scheitelform a(x + p)² + q umformen, mit Scheitelpunkt, Nullstellen und jedem Rechenschritt.
- Quadratische Regression berechnenQuadratische Regression berechnen: Parabel y = ax² + bx + c durch Ihre Messpunkte, mit R², Scheitelpunkt, Vorhersage und Residuen samt Rechenweg.
- Linsengleichung-RechnerLinsengleichung-Rechner: Bildweite, Gegenstandsweite oder Brennweite aus zwei Werten, dazu Maßstab, Bildgröße und Bildart für Sammel- und Zerstreuungslinsen.