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放物線の頂点の計算ツール

放物線の頂点を、一般形 y = ax² + bx + c から求めるツールです。頂点形から展開形に直すこともできます。y = x² − 4x + 3 の頂点は (2, −1) です。平方完成した式、x軸との交点、軸の式、途中式もあわせて表示します。

計算例：わかっている式: 一般形 f(x) = ax² + bx + c · a 1 · b -4 · c 3 → 頂点：頂点 (2, −1)。出典：Wikipedia – Parabel (Mathematik): Scheitelpunkt, Scheitelform。更新日：

x²の係数で、0以外。正なら下に凸（上に開く）
xの係数
定数項
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結果

頂点
頂点 (2, −1)
頂点形
f(x) = (x − 2)² − 1
一般形
f(x) = x² − 4x + 3
x軸との交点
2つの解：x₁ = 1、x₂ = 3
性質
  • 上に開く（a > 0）：頂点は最小値です。
  • 軸の式：x = 2
  • y軸との交点：(0, 3)
  • 値域：y ≥ −1
途中式
  • 頂点のx座標：p = −b ÷ (2a) = −(−4) ÷ (2 × 1) = 2
  • 頂点のy座標：f に p を代入すると q = −1 になります。
  • 平方完成：f(x) = 1·(x − 2)² + −1（3 − 1·2² = −1 のため）。

計算方法

頂点とは、放物線の最も低い（または高い）点で、向きが変わるところです。f(x) = ax² + bx + c の頂点は x = −b ÷ (2a) にあり、y座標は代入して求めます。頂点形 f(x) = a(x − p)² + q なら、頂点は (p, q) とそのまま読み取れます。

このツールの計算方法

例

f(x) = x² − 4x + 3 では p = 4 ÷ 2 = 2、q = 3 − 16 ÷ 4 = −1 です。頂点形は f(x) = (x − 2)² − 1、解は1と3になります。逆に、頂点形 f(x) = 2(x − 3)² − 5 を展開すると 2x² − 12x + 13 です。解だけ知りたいときは二次方程式の解法、曲線そのものは関数グラフで描けます。

よくある質問

放物線の頂点の求め方は？

x座標を p = −b ÷ (2a) で求め、それを関数に代入してy座標を求めます。f(x) = x² − 4x + 3 の頂点は (2, −1) です。

頂点形とは？

f(x) = a(x − p)² + q の形です。頂点は (p, q) で、p は右へ、q は上への移動量を表します。

一般形から頂点形に直すには？

平方完成を使います。ax² + bx + c = a(x + b ÷ 2a)² + c − b² ÷ 4a です。ツールが入力値で手順を表示します。

頂点が最大か最小かの見分け方は？

a の符号で決まります。a > 0 なら下に凸で頂点は最小値、a < 0 なら上に凸で最大値です。

「実数解なし」とは？

放物線がx軸の上側または下側だけにあり、x軸に触れないことです。このとき頂点は放物線と同じ側にあります。

出典・根拠

更新日： · 編集方針

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