Wierzchołek paraboli: kalkulator
Wierzchołek paraboli obliczysz tu z postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c – albo z postaci kanonicznej. Dla x² − 4x + 3 wierzchołek to (2 | −1); do tego dostajesz postać kanoniczną, miejsca zerowe, oś symetrii i tok obliczeń.
Przykład: Masz: Postać ogólną f(x) = ax² + bx + c · a 1 · b -4 · c 3 → Wierzchołek: Wierzchołek W(2 | −1). Źródło: Wikipedia – Parabel (Mathematik): Scheitelpunkt, Scheitelform. Stan na: .
Jak to obliczamy
Wierzchołek to najniższy lub najwyższy punkt paraboli – miejsce, w którym zmienia ona kierunek. Dla f(x) = ax² + bx + c leży w x = −b ÷ (2a); wartość y otrzymujesz przez podstawienie. W postaci kanonicznej f(x) = a(x − p)² + q odczytujesz go wprost: (p | q).
Jak działa narzędzie
- x wierzchołka: p = −b ÷ (2a). Leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi, a osią symetrii jest prosta x = p.
- y wierzchołka: q = c − b² ÷ (4a).
- Postać kanoniczna: przez dopełnienie do kwadratu ax² + bx + c przechodzi w a(x − p)² + q.
- Miejsca zerowe: z wyróżnika b² − 4ac: większy od 0 – dwa, równy 0 – jedno, mniejszy od 0 – żadne.
Przykład
f(x) = x² − 4x + 3: p = 4 ÷ 2 = 2, q = 3 − 16 ÷ 4 = −1. Postać kanoniczna to f(x) = (x − 2)² − 1, a miejsca zerowe to 1 i 3. W drugą stronę postać kanoniczna f(x) = 2(x − 3)² − 5 po rozwinięciu daje 2x² − 12x + 13. Jeśli szukasz tylko miejsc zerowych, użyj kalkulatora równania kwadratowego; samą krzywą narysuje wykres funkcji.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć wierzchołek paraboli?
Ze wzoru p = −b ÷ (2a) i podstawienia p do funkcji, aby uzyskać q. Dla f(x) = x² − 4x + 3 wierzchołek to (2 | −1).
Czym jest postać kanoniczna?
f(x) = a(x − p)² + q. Wierzchołek to (p | q): p przesuwa parabolę w prawo, q w górę.
Jak przejść z postaci ogólnej do kanonicznej?
Przez dopełnienie do kwadratu: ax² + bx + c = a(x + b ÷ 2a)² + c − b² ÷ 4a. Narzędzie pokazuje kroki z Twoimi liczbami.
Skąd wiem, czy wierzchołek to maksimum czy minimum?
Ze znaku a: dla a > 0 ramiona są w górę i wierzchołek to minimum, dla a < 0 to maksimum.
Co znaczy „brak miejsc zerowych”?
Parabola leży w całości nad osią x lub pod nią i jej nie dotyka. Wierzchołek jest wtedy po tej samej stronie co parabola.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Parabel (Mathematik): Scheitelpunkt, Scheitelform
- Wikipedia – Quadratic function (Vertex form)
- Wikipedia – Completing the square
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Równanie kwadratowe – kalkulatorRozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki, dokładna postać, wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i rozwiązania zespolone.
- Wykres funkcji onlineRysuj wykres do trzech funkcji online, przybliżaj i przesuwaj, obliczaj numerycznie miejsca zerowe, maksima i minima, zapisuj wykres jako PNG lub SVG. Za darmo.
- Kalkulator pochodnychKalkulator pochodnych z krokami: wpisz funkcję, zobacz zastosowane reguły i otrzymaj pochodne do trzeciego rzędu oraz styczną w wybranym punkcie.
- Układ równań – kalkulatorUkład równań liniowych – kalkulator dla 2 do 6 niewiadomych: dokładny wynik w ułamkach, metoda Gaussa krok po kroku, wyznacznik i sprawdzenie.
- Równanie prostej – przez dwa punkty lub ze współczynnikiem kierunkowymRównanie prostej przez dwa punkty lub z punktu i współczynnika kierunkowego: postać kierunkowa, ogólna, parametryczna, miejsce zerowe i obliczenia od razu.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Kalkulator półkuliPółkula: z promienia, średnicy, objętości lub pola oblicz objętość, powierzchnię krzywą, koło podstawy i pole całkowite, ze wzorami i przykładem.
- Kalkulator stałej sprężystościKalkulator stałej sprężystości sprężyny wg prawa Hooke’a z siły i wydłużenia, z energii albo z masy i okresu drgań: wynik w N/m, N/mm i lbf/in.
- Nauka zegara dla dzieciNauka zegara online z interaktywnym zegarem ze wskazówkami: odczytywanie godzin, ustawianie wskazówek lub swobodne ćwiczenia, od pełnych godzin do minut.