Quadratische Regression berechnen
Hier können Sie die quadratische Regression berechnen: Tragen Sie x- und y-Werte ein, der Rechner legt die beste Parabel durch die Punkte. Beispiel: x = 0 bis 5 und y = 1; 2,8; 6,1; 10,8; 17,2; 24,5 ergeben ŷ = 0,7125 · x² + 1,16321 · x + 0,960714 mit R² = 0,999876.
Quelle: Wikipedia – Polynomial regression. Stand: .
So wird gerechnet
Die quadratische Regression passt eine Parabel y = a · x² + b · x + c an Messpunkte an, wenn der Zusammenhang gekrümmt ist und eine Gerade nicht reicht.
Methode und Rechenweg
Gesucht sind a, b und c, sodass die Summe der quadrierten Abstände zwischen den gemessenen y und der Parabel möglichst klein wird (Methode der kleinsten Quadrate). Aus den Summen Σx, Σx², Σx³, Σx⁴, Σy, Σxy und Σx²y entsteht ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten, das der Rechner löst. Das Bestimmtheitsmaß R² = 1 − SSE / SST zeigt, welcher Anteil der Streuung der y-Werte durch die Parabel erklärt wird. Der Scheitelpunkt liegt bei x = −b / (2a).
Durchgerechnetes Beispiel
Für x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 und y = 1; 2,8; 6,1; 10,8; 17,2; 24,5 sind die Summen n = 6, Σx = 15, Σx² = 55, Σx³ = 225 und Σx⁴ = 979. Das System liefert a = 0,7125, b = 1,16321 und c = 0,960714, also ŷ = 0,7125 · x² + 1,16321 · x + 0,960714 mit R² = 0,999876. Die Vorhersage bei x = 6 ist 0,7125 · 36 + 1,16321 · 6 + 0,960714 = 33,59. Der Scheitelpunkt liegt bei x = −0,816291 mit y = 0,485954; wegen a > 0 ist er ein Minimum.
- Ist a positiv, öffnet sich die Parabel nach oben, ist es negativ, nach unten.
- Mit n = 3 verläuft die Parabel exakt durch alle Punkte (R² = 1).
- Für einen geraden Verlauf nutzen Sie die lineare Regression; die Residuen prüft der Residuen-Rechner.
Häufige Fragen
Wie berechnet man eine quadratische Regression?
Man bestimmt a, b und c so, dass die Summe der quadrierten Abweichungen minimal ist. Dazu löst man das Gleichungssystem aus den Summen Σx bis Σx⁴, Σy, Σxy und Σx²y.
Wann ist eine quadratische statt linearer Regression sinnvoll?
Wenn die Residuen der Geraden einen Bogen bilden oder die Daten erkennbar gekrümmt sind, etwa bei Bremswegen oder Wurfbahnen.
Wofür steht der Scheitelpunkt?
Er ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel bei x = −b / (2a). Für unser Beispiel liegt er bei x = −0,816291 außerhalb der Messwerte.
Quellen und Rechtsgrundlagen
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
- Lineare-Regression-RechnerLineare-Regression-Rechner: Regressionsgerade, Steigung, R², Standardfehler und Prognose aus Ihren Wertepaaren, mit Streudiagramm und Residuen. Kostenlos.
- Residuen berechnenResiduen berechnen für die lineare Regression: Regressionsgerade, Vorhersage ŷ und Residuum y − ŷ je Messpunkt, dazu SSE, Standardfehler und R².
- Quadratische Gleichung lösenQuadratische Gleichung lösen mit Mitternachtsformel und pq-Formel: Lösungen, Diskriminante, exakte Wurzelform, Scheitelpunkt und Linearfaktoren mit Rechenweg.
- Scheitelpunkt berechnenScheitelpunkt einer Parabel berechnen: aus f(x) = ax² + bx + c die Scheitelform bilden, Nullstellen und Symmetrieachse finden – mit Rechenweg und Probe.
- Korrelation berechnenKorrelation berechnen aus Wertepaaren: Pearson-r und Spearman-ρ mit p-Wert, Konfidenzintervall, Bestimmtheitsmaß und Regressionsgerade. Aus Tabelle einfügen.
- Geradengleichung aufstellenGeradengleichung aufstellen aus zwei Punkten oder aus Punkt und Steigung: Normalform, allgemeine Form, Parameterform, Nullstelle und Rechenweg sofort.
- Taschenrechner onlineKostenloser Online-Taschenrechner: tippen oder klicken, Ergebnis sofort – mit Punkt-vor-Strich, Klammern, Prozent, Wurzel, Rechenweg und Verlauf.
- Induktivität berechnenInduktivität berechnen für Luftspule, lange Spule, Ringkern und Kerne mit AL-Wert: L aus Windungen und Maßen oder Windungszahl für eine Wunsch-Induktivität.
- Flächenträgheitsmoment berechnenFlächenträgheitsmoment berechnen für Rechteck, Kreis, Rohr, Hohlkasten, Dreieck und I-Profil, mit Widerstandsmoment und Steiner-Anteil. Mit Formeln. Kostenlos.